用空间向量研究距离夹角问题2.pptx

人教A版同步教材精品课件第2课时利用向量求空间角

激趣诱思知识点拨地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”,黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为23°26.黄道面与天球相交的大圆为“黄道”.黄道及其附近的南北宽9°以内的区域称为黄道带,太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内.黄道带内有十二个星座,称为“黄道十二宫”.从春分(节气)点起,每30°便是一宫,并冠以星座名,如白羊座、狮子座、双子座等等,这便是星座的由来.

激趣诱思知识点拨一、利用向量方法求两条异面直线所成的角名师点析不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来,因为两异面直线所成角的范围是,而两个向量夹角的范围是[0,π],事实上,两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系.

激趣诱思知识点拨微练习若异面直线l1,l2的方向向量分别是a=(0,-2,-1),b=(2,0,4),则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于()答案:B

激趣诱思知识点拨二、利用向量方法求直线与平面所成的角直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则名师点析1.直线与平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的射影所成的角,其范围是

激趣诱思知识点拨微练习若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于()A.120° B.60° C.150° D.30°答案:D解析:因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,所以它们所在直线的夹角为60°,则直线l与平面α所成的角等于90°-60°=30°.

激趣诱思知识点拨三、利用向量方法求两个平面的夹角1.平面α与平面β的夹角:平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.2.若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角,设平面α与平面β的夹角为θ,则2.因为两个平面法向量的方向不确定,故n1,n2∈(0,π),若n1,n2为钝角,应取其补角.

激趣诱思知识点拨A.120° B.30° C.60° D.30°或150°答案:B

探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用向量方法求两异面直线所成角例1如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,试求直线EF和BC1所成的角.思路分析建立空间直角坐标系,求出直线EF和BC1的方向向量的坐标,求它们的夹角即得直线EF和BC1所成的角.

探究一探究二探究三素养形成当堂检测

探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟1.利用空间向量求两异面直线所成角的步骤.(1)建立适当的空间直角坐标系.(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标.(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角.(4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角.2.求两条异面直线所成的角的两个关注点.(1)余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值,而对应的方向向量的夹角可能为钝角.(2)范围:异面直线所成角的范围是,故两直线方向向量夹角的余弦值为负时,应取其绝对值.

探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.?

探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用向量方法求直线与平面所成角例2如图所示,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN∥平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.思路分析(1)线面平行的判定定理?MN∥平面PAB.(2)利用空间向量计算平面PMN与AN方向向量的夹角?直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

探究一探究二探究三素养形成当堂检测又AD∥BC,故TN??AM,所以四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.因为AT?平面PAB,MN?平面PAB,所以MN∥平面PAB.

探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)解:如图,取BC的中点E,连接AE.由AB=AC得AE⊥BC,从而AE⊥AD,

探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟若直线l与平面α的夹角为θ,利用法向量计算θ的步骤如下:

探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面BDE所成的角为()答案:B

探究一探究二探究三