矩阵特征值求法.pdf

在数学中，矩阵特征值是矩阵的一个非常重要的性质。它可以用

来描述矩阵的很多性质，比如矩阵的对角化、矩阵的相似变换等。矩

阵特征值的求法有很多种，其中比较常见的有幂法、Jacobi方法、

QR方法等。本文将介绍这些方法的基本原理和具体实现过程。

一、幂法

幂法是一种求解矩阵特征值和特征向量的迭代方法。其基本思想

是：从一个随机的初始向量开始，不断地将矩阵乘上这个向量，并将

结果归一化，得到一个新的向量。这个过程会不断重复，直到向量收

敛到某个特征向量为止。此时，对应的特征值就是矩阵的最大特征值。

具体实现过程如下：

1.初始化一个随机向量$x_0$，并进行归一化，得到

$x_1=frac{x_0}{left|x_0right|}$。

2.对于$k=1,2,3,cdots$，重复以下步骤：

（1）计算$y_k=Ax_{k}$。

（2）计算

$lambda_k=frac{left|y_kright|}{left|x_kright|}$。

（3）归一化向量$x_{k+1}=frac{y_k}{left|y_kright|}$。

3.当$left|lambda_{k+1}-lambda_kright|epsilon$，其中

$epsilon$是一个足够小的数，表示收敛精度时，停止迭代。此时，

向量$x_{k+1}$就是对应的特征向量，特征值为$lambda_{k+1}$。

幂法的优点是简单易懂，容易实现。但是，由于它只能得到矩阵

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因此需要对矩阵进行对角化或者其

他方法来得到所有的特征值和特征向量。

二、Jacobi方法

Jacobi方法是一种求解实对称矩阵特征值和特征向量的方法。

其基本思想是：通过一系列旋转变换，将实对称矩阵变换为对角矩阵，

从而得到特征值和特征向量。

具体实现过程如下：

1.初始化一个实对称矩阵$A$。

2.选择一个非对角线元素$a_{i,j}$，并计算旋转角度

$theta$，使得$a_{i,j}$变为$0$。具体公式为：

$$

begin{aligned}

tantheta=frac{2a_{i,j}}{a_{i,i}-a_{j,j}}

costheta=frac{1}{sqrt{1+tan^2theta}}

sintheta=tanthetacostheta

end{aligned}

$$

3.构造旋转矩阵$Q$，其对应的旋转角度为$theta$，旋转中

心为$(i,j)$，具体公式为：

$$

q_{i,i}=q_{j,j}=costheta,quadq_{i,j}=-sintheta,quad

q_{j,i}=sintheta

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4.计算矩阵$A$的新值$A=Q^TAQ$。

5.如果矩阵$A$的非对角线元素的绝对值之和小于某个阈值

$epsilon$，则认为已经对角化完成，停止迭代。否则，返回第二步。

6.对角线元素即为特征值，旋转矩阵的列向量即为特征向量。

Jacobi方法的优点是可以得到所有的特征值和特征向量，但是

其迭代次数较多，计算量较大，速度较慢。

三、QR方法

QR方法是一种求解一般矩阵特征值和特征向量的方法。其基本

思想是：通过一系列正交相似变换，将一般矩阵变换为上三角矩阵，

从而得到特征值和特征向量。

具体实现过程如下：

1.初始化一个一般矩阵$A$。

2.对$k=1,2,3,cdots$