相似三角形基本模型综合基础训练（五）（解析版）.docxVIP

相似三角形基本模型综合基础训练（五）

1．如图，在正方形中，分别为的中点，连接交于点，将沿对折，得到，延长交延长于点若则的值为（??）

A．1 B．2 C．3 D．

【答案】D

【详解】如图，连接BM，

在正方形中，分别为的中点，

∵折叠，

∴△BCF≌△BPF

∴BC＝BP，∠CBF＝∠PBF,CF=PF=DF=

∴AB＝BP=且BM＝BM

∴Rt△ABM≌Rt△BMP

∵在Rt△DMF中，MF2＝FD2＋DM2．

∴（＋AM）2＝（）2+（?AM）2

∴AM＝，

∴DM＝-=，

∵DF∥AQ

∴△DFM∽△AQM

∴

即

解得AQ=

∴BQ=AQ+AB=+=1

∵E点是AE的中点，

∴BE=,

则AE=

∴=

∴=1+=

故选D．

2．如图，将正方形折叠，使顶点与边上的一点重合（不与端点，重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为（????）

A． B． C． D．2

【答案】D

【分析】设正方形ABCD的边长为a，CH=x，DE=y，则m=4a，根据折叠的性质可得∠EHG=∠A=90°，EH=AE，可得EH=a-y，DH=a-x，根据直角三角形两锐角互余的关系可得∠DEH=∠CHG，可证明△DEH∽△CHG，根据相似三角形的性质可用a、x、y表示出CG、HG的长，在Rt△DEH中利用勾股定理可得x2=2a(x-y)，表示出△CHG的周长，进而可得答案．

【详解】设正方形ABCD的边长为a，CH=x，DE=y，则m=4a，

∵将正方形折叠，使顶点与边上的一点重合，

∴∠EHG=∠A=90°，EH=AE，

∴DH=a-x，EH=a-y，

∵∠CHG+∠DHE=90°，∠DEH+∠DHE=90°，

∴∠CHG=∠DEH，

∵∠D=∠C=90°，

∴△DEH∽△CHG，

∴，即：，

∴CG=，HG=，

在Rt△DEH中，EH2=DE2+DH2，即(a-y)2=y2+(a-x)2，

∴x2=2a(x-y)，

∴n=CH+HG+CG=x++==2a，

∴==2，

故选：D．

3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在C′的位置，C′D交AB于点Q，则的值为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，

∵∠ADC＝45°，

∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE＝AD，

在Rt△ABC中，

∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，

∴AD＝CD＝BD，

由折叠得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，

∴∠CDC′＝45°+45°＝90°，

∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD，

∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°，

∴AC′＝AQ＝AC，

由△AEC∽△BDQ得：＝，

∴＝＝＝＝．

故选：A．

4．如图，正方形ABCD边长为4，边BC上有一点E，以DE为边作矩形EDFG，使FG过点A，则矩形EDFG的面积是（）

A．16 B．8 C．8 D．16

【答案】D

【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，

∴AD＝CD＝4，∠ADC＝∠C＝90°，

∵四边形EDFG为矩形，

∴∠EDF＝∠F＝90°，

∵∠ADF+∠ADE＝90°，∠ADE+∠EDC＝90°，

∴∠ADF＝∠EDC，

∴△ADF∽△CDE，

∴，即，

∴DF＝，

∴矩形EDFG的面积为：DE?DF＝DE?＝16．

故选：D．

5．如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：

①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG；

②△ACF∽△ADG；

③；

④DG⊥AC．

其中正确的是_____．（写出所有正确结论的序号）

【答案】①②④

【详解】解：设AB与EF相交于点O，如图所示，

∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，

∴，．

又∵，

∴．

∵，

∴，

∴，

故结论①正确；

∵AC、AF是正方形ABCD和正方形AEFG的对角线，

∴，，

∴．

又∵，

∴，

即．

∴△ACF∽△ADG．

故结论②正确；

由△ACF∽△ADG可知，

∴DG平分．

∵是等腰直角三角形，

∴DG⊥AC．

故结论④正确；

∵，，

∴△ACF∽△AFH，

∴，∴．

∵在等腰直角中，，∴，

故结论③错误，

∴正确的结论是①②④，

故答案为：①②④．

6．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝_____．

【答案】3．

【详解】如图所示，过F作FG⊥C