特征向量求法详细步骤.pdf

特征向量是矩阵在线性代数中的一个重要概念，它在很多领域都

有着广泛的应用，如图像处理、信号处理、机器学习等。因此，掌握

特征向量求法是非常重要的。本文将详细介绍特征向量求法的步骤，

希望能够帮助读者更好地理解和应用特征向量。

一、定义

在矩阵代数中，特征向量是指一个非零向量在矩阵作用下只发生

伸缩变换，而不改变方向的向量。简单来说，就是矩阵作用下，某个

向量只相当于乘以一个标量，这个向量就是特征向量。这个标量就是

该特征向量对应的特征值。

二、求解步骤

1.求解特征值

首先，我们需要求解矩阵的特征值。设矩阵为A，特征向量为x，

特征值为λ，则有：

Ax=λx

将等式两边移项，得到：

(A-λI)x=0

其中，I为单位矩阵。这个式子就是特征向量求法的核心公式。

由于x是一个非零向量，因此(A-λI)必须是一个奇异矩阵。

也就是说，它的行列式为0。因此，我们可以通过求解以下方程来得

到特征值λ：

det(A-λI)=0

-1-

这个方程叫做矩阵的特征方程。

2.求解特征向量

一旦我们求得了特征值λ，就可以通过求解以下方程组来得到特

征向量x：

(A-λI)x=0

这个方程组叫做齐次线性方程组。我们需要求解它的基础解系，

也就是它的通解。

通解的求解方法是高斯消元法。将(A-λI)化为阶梯形矩阵，

然后回代求解即可。

需要注意的是，如果特征值λ是多重根，那么对应的特征向量就

不止一个。我们需要求解齐次线性方程组的通解，然后选取其中任意

一个非零向量作为特征向量。

三、举例说明

下面，我们通过一个简单的例子来说明特征向量求法的具体步骤。

设矩阵A为：

A=[1,2;2,1]

首先，我们需要求解它的特征值。

det(A-λI)=0

=

|1-λ,2|

|2,1-λ|

=

-2-

λ)^2-4=0

=λ1=-1,λ2=3

接下来，我们需要求解特征向量。

对于特征值λ1=-1，我们有：

(A-λ1I)x=0

=

|2,2|

|2,2|

化为阶梯形矩阵：

|2,2|

|0,0|

回代求解得到通解：

x=[-1;1]

对于特征值λ2=3，我们有：

(A-λ2I)x=0

=

|-2,2|

|2,-2|

化为阶梯形矩阵：

|-2,2|

|0,0|

回代求解得到通解：

-3-

因此，矩阵A的特征向量为：

x1=[-1;1]

x2=[1;1]

四、总结

特征向量求法是矩阵代数中的一个重要概念，掌握它对于理解和

应用矩阵有着重要的意义。本文介绍了特征向量求法的详细步骤，并

通过一个简单的例子来说明了具体的求解过程。希望读者能够通过本

文的介绍更好地理解和应用特征向量。

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