考点16 二次函数与幂函数（原卷版）.docx

考点16二次函数与幂函数

【命题解读】

二次函数为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；

【基础知识回顾】

1.幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.

(2)常见的五种幂函数的图象

(3)幂函数的性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.

2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).

零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.

(2)二次函数的图象和性质

函数

y＝ax2＋bx＋c(a0)

y＝ax2＋bx＋c(a0)

图象

(抛物线)

定义域

R

值域

eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))

eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))

对称轴

x＝－eq\f(b,2a)

顶点

坐标

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))

奇偶性

当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数

单调性

在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是减函数；

在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是增函数

在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函数；

在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是减函数

[常用结论与微点提醒]

1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.

2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a0，,Δ0))时恒有f(x)0；当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a0，,Δ0))时，恒有f(x)0.

3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；

(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.

1、幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是()

2、已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)f(1)，则()

A．a0,4a＋b＝0 B．a0,4a＋b＝0

C．a0,2a＋b＝0 D．a0,2a＋b＝0

3、若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为()

A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)

C．(－∞，0) D．(－∞，2)

4、若函数y＝x2－3x＋4的定义域为[0，m]，值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,4)，4))，则m的取值范围为()

A．(0，4] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))

C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))

5、不等式x2+a|x|+4≥0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）

A．[0，+∞） B．[﹣4，+∞） C．[﹣4，4] D．（﹣∞，﹣4]

6、(2017徐州、连云港、宿迁三检）已知对于任意的，都有，则实数的取值范围是▲．

考向一幂函数的图像与性质

1．幂函数y＝f(x)的图像过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的解析式为___________．

2．图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的图像．已知α取±2，±eq\f(1,2)四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α值依次为____________．

3．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？

变式1、已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xeq\a\v