33 幂函数（精讲）（原卷版）.docx

3.3幂函数

幂函数

(1)一般地形如y＝xα(α为常数)的函数叫做幂函数．

[知识点拨]幂函数与指数函数的区别与联系

函数

表达式

相同点

不同点

指数函数

y＝ax(a＞0，且a≠1)

右边都是幂的形式

指数是自变量，底数是常数

幂函数

y＝xα(α∈R)

底数是自变量，指数是常数

(2)对于幂函数，我们只讨论α＝1,2,3，eq\f(1,2)，－1时的情形．

(3)图象：在同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\s\up4(\f(1,2))，y＝x－1的图象如图．

[知识点拨]幂函数在第一象限内的指数变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小，即指数大的在上边．

(4)五种常见幂函数的性质，列表如下：

定义域

值域

奇偶性

单调性

公共点

y＝x

R

R

奇

在R上是增函数

都过(1,1)点

y＝x2

R

[0，＋∞)

偶

在(－∞，0)上是减函数；在[0，＋∞)上是增函数

y＝x3

R

R

奇

在R上是增函数

y＝xeq\s\up4(\f(1,2))

[0，＋∞)

[0，＋∞)

非奇

非偶

在[0，＋∞)上是增函数

y＝x－1

(－∞，0)∪(0，＋∞)

(－∞，0)∪(0，＋∞)

奇

在(－∞，0)和(0，＋∞)上均是减函数

【典例精讲】

考点一幂函数的判断

【例1】（2020·全国高一课时练习）在函数，，，中，幂函数的个数为（）

A．0 B．1 C．2 D．3

【玩转跟踪】

1．（2019·广东揭阳.高一期末）下列函数中哪个是幂函数（）

A． B． C． D．

2．（2019·滦南县第二高级中学高一期中）下列函数是幂函数的是（）

A． B． C． D．

考点二幂函数的三要素

【例2-1】（2020·辽阳市第四高级中学高三月考）已知幂函数的图象过点，则______.

【例2-2】（2020·全国高一课时练习）（1）函数的定义域是_____，值域是_____；

（2）函数的定义域是____，值域是_____；

（3）函数的定义域是______，值域是_____；

（4）函数的定义域是_____，值域是______.

先用待定系数法设出函数的解析式，再代入点的坐标，计算出参数的值即可得出正确选项

先用待定系数法设出函数的解析式，再代入点的坐标，计算出参数的值即可得出正确选项

【玩转跟踪】

1（2020·上海高一开学考试）若幂函数图像过点，则此函数的解析式是________.

2．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））已知幂函数的图象过点，则______．

3．（2020·浙江高一课时练习）若点，均在幂函数的图象上，则实数_____．

4．（2020·全国高一课时练习）讨论下列函数的定义域、值域.

（1）；（2）；（3）；（4）.

考法三幂函数的性质

【例3】．（2020·福建南平.高一期末）已知幂函数()在上是减函数，则n的值为（）

B．1 C． D．1和

【玩转跟踪】

1．（2020·辽宁沈阳。高一期末）已知幂函数的图象关于轴对称，且与轴、轴均无交点，则的值为（）

A． B．0 C．1 D．2

2．（2019·陕西秦都.咸阳市实验中学高一月考）设，则使函数的定义域为，且为偶函数的所有的值为（）

A． B． C． D．

2．（2019·四川省仁寿县文宫中学高一期末）设，则使得的定义域为R且为奇函数的所有n值的个数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

考法四幂函数的图像

【例4-1】（2020·浙江杭州.高一期末）已知幂函数在第一象限内的图象如图所示．若则与曲线，，，对应的的值依次为（）

A． B．

C． D．

【例4-2】函数恒过一个定点，这个定点坐标是;

【玩转跟踪】

1．（2020·上海青浦高一期末）幂函数的大致图象是()

A． B．

C． D．

2．（2019·湖北沙区.沙市中学高一期中）下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是

A．①，②，③，④

B．①，②，③，④

C．①，②，③，④

D．①，②，③，④

3．（2018·贵州高三学业考试）三个幂函数（1），（2），（3）都经过的点的坐标是（）

A． B． C． D．