边值问题的有限差分法.ppt

**第九章边值问题的有限差分法有限差分法和有限元法是求微分方程近似解的两种重要的数值方法，它们的共同特点是将连续的问题和区域进行各种形式的离散，最后化为有限形式的线性代数方程组。有限差分法和有限元法的最大区别在于前者的处理直接施加于所给的微分方程本身，以差商代替导数，将微分方程问题化为代数问题；而后者则需要先把微分方程化成Ritz形式或Galerkin形式的变分问题再加以处理，它们的共同点决定了这两种方法在总的处理思路和大的步骤上有不少相同或类似之处，而它们的不同点又导致了这两种方法的具体操作实施具有无法比拟的各自的特殊性。一、有限差分法的基本概念（一）、差分法的基本思想与解题步骤下面以最简单的椭圆型方程第一边值问题为例，讨论差分法的基本思想与解题步骤。考察二阶常微分方程边值问题：用有限差分法求解微分方程必须把连续问题进行离散化，为此首先要对求解区域作网格剖分。1、剖分区域－－建立差分网格将区间分成等分，分点为于是我们得到区间的一个网格部分。称为网格的节点,称为步长。我们的任务，是研究怎样求、的解在节点处的近似值。2、建立差分方程－－将边值问题离散化在节点上用适当的差商代替微分方程中的微商。如将二阶导数用二阶中心差商来代替，即其中，表示方括号内的函数在点取值。于是在上可将方程（1.1）写成其中是用差商代替时的误差，当h足够小时，是h的二阶无穷小量，若舍去，便得到逼近方程（1.1）的差分方程式中，于的近似，称为差分方程（1.4)的截断误差。显然，差分方程（1.4)当时成立，加上边值条件就得到关于的线性代数方程组称（1.5）（1.6）为逼近（1.1）（1.2）的差分方程或差分格式。由于（1.5）是用二阶中心差商代替（1.1）中的二阶微商得到的，所以也称（1.5）（1.6）为中心差分格式。3、求解差分方程－－得到边值问题的近似解。为了求解方便，把差分方程（1.5）改写成显然，它的系数矩阵A是对称的三对角矩阵。例如，取N=5，则我们可用消元法或迭代法求解方程组（1.5）、（1.6）。（二）、差分格式的相容性、收敛性和稳定性建立了差分格式后，自然要提出如下问题：差分格式是否有唯一解？当网格无限加密，即当时，差分解是否收敛到真解？如果收敛，其收敛的速度如何？1、差分格式的相容性和收敛性如果当网格无限加密时，差分格式的截断误差按某一范数趋近于零，则称差分方程与微分方程相容。这里的相容是指当时差分方程能与微分方程充分接近。相容性是差分格式收敛的必要条件。收敛性问题：所谓收敛性问题是指当网格无限加密时，差分格式的解是否收敛于微分方程的解的问题。定义1如果当网格无限加密时，差分格式的解存在，且按某一范数有则称差分解收敛到边值问题的解注意：相容的差分格式可能收敛也可能不收敛。相容只是必备的条件，而收敛才是最终的目的。一般的相容性＋稳定性＝收敛性2、差分格式的稳定性差分方程的解的唯一性以及收敛速度的估计等问题，都与差分方程的稳定性有关。以差分方程为例。记方程为，其中，称为差分算子。于是有引进记号则显然有，为了估计误差函数，从而为了研究收敛性以及收敛速度问题，我们给出差分格式的稳定性概念。定义2、设差分方程为如果存在与网格剖分及右端无关的正常数和，使则称差分方程（1.8）关于右端稳定。其中，是右端的某一范数，它可以和相同，也可以不同，(1.9)式表明，解连续依赖右端，即右端变化小时解的变化也小。由此式容易推得，差分方程（1.5）（1.6）对任何边值及右端