浙江省宁波市九校2024届高三上学期1月期末数学试卷（含解析）.docVIP

宁波市2023学年第一学期期末九校联考高三数学试题

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【详解】由题设，，

所以，

故，即为.

故选：D

2.已知复数，则的虚部为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【详解】，故虚部为.

故选：C

3.与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【详解】由题意设所求双曲线方程为，又双曲线过点，

∴，即，

∴双曲线方程为，即，

故选：D．

4.若数列为等比数列，则“”是“”的（）

A.充要条件 B.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件 D.必要不充分条件

【答案】C

【详解】若数列的公比为，

由，故，则，

所以，当且仅当，即时取等号，故充分性成立；

由，故，若，则，故必要性不成立；

故选：C

5.体育课上，罗老师让8名身高各不相同的同学排队，要求排成前后两排，每排4人，且每排同学从左到右身高依次递增，则不同排法的种数为（）

A.60 B.70 C.80 D.90

【答案】B

【详解】从8人中任抽4人放在第一排有种，且仅有一种排法，其余4人放在第二排只有一种排法，

所以不同排法的种数为种.

故选：B

6.若向量满足，且，则在上的投影向量为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【详解】由，则，

由在上的投影向量.

故选：D

7.已知，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【详解】，

则．

故选：A．

8.在四面体中，，，且，则该四面体的外接球表面积为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【详解】

如图，作平面，连接，易得因，平面，

所以平面，平面，故,

由题可得，，则.

不妨设，则有①，

中，由余弦定理，，在中，②，

将两式相减化简即得：，.

取线段中点，过点作平面，其中点为外接球的球心，设外接球半径为，

由余弦定理求得，

在直角梯形中，，由计算可得：，则该四面体的外接球表面积为.

故选：B.

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9.下列说法正确的是（）

A.数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的第70百分位数是8.5

B.若随机变量，则

C.设为两个随机事件，，若，则事件A与事件相互独立

D.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的卡方独立性检验，可判断与有关且该判断犯错误的概率不超过0.05

【答案】BCD

【详解】对于A，因为，

又将数据从小到大排列，第7个数为7，第8个数为8，

所以第70百分位数为7.5，故A错误；

对于B，根据正态分布的性质可知为，

，故B正确；

对于C，根据条件概率可知，

由相互独立事件的判定可知C正确；

对于D，根据独立性检验的意义可知，

故可判断与有关且该判断犯错误的概率不超过0.05，故D正确.

故选：BCD.

10.已知，则（）

A. B.

C. D.

【答案】ABD

【详解】A：在已知等式中，令，则有，所以本选项正确；

B：在已知等式中，令，则有，所以本选项正确；

C：因为，

所以项的系数，

D：对已知等式，两边同时求导，得，在该式中，令，则有，所以本选项正确，

故选：ABD

11.抛物线：的焦点为，过作倾斜角为的动直线交抛物线于两点（在第一象限），且，设关于轴的对称点为，则下列说法一定正确的是（）

A. B.

C. D.

【答案】ACD

【详解】抛物线：的焦点为，准线方程为，设，

过作轴于，过作于，显然，

由抛物线定义得，，

而，则，因此，A正确；

显然，同理，则，B错误；

又，则点到直线的距离，

因此，C正确；

显然，则，又，

因此，D正确.

故选：ACD

12.已知，，，，则（）

A. B. C. D.

【答案】ABC

【详解】令，则，

当时，，当时，，

故在、上单调递减，在上单调递增，

当时，，当时，，

，有，故，

又，，

故，故有，

故，即C正确，，即，故D错误，

令，则，

令，

则，

当时，，

当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，

有，故恒成立，即恒成立，

故在上单调递减，

又，

故当时，，当，，

即当时，，当时，，

令，即，此时，

故该方程有两个不相等的实根，设两根为、，且，则有，

由，且，故有，

由，故，即，故A正确；

令，有，

则，

当时，，当，，

故在上单调递增，在上单调递减，

有，又，故，