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行列式的计算及应用毕业论文

目录

TOC\o1-3\h\z\u1.行列式的定义及性质 1

1.1行列式的定义 1

1.1.1排列 1

1.1.2定义 1

1.2行列式的相关性质 1

2.行列式的计算方法 5

2.1几种特殊行列式的结果 5

2.1.1三角行列式 5

2.1.2对角行列式 5

2.2定义法 5

2.3利用行列式的性质计算 5

2.4降阶法 6

2.5归纳法 7

2.6递推法 8

2.7拆项法 9

2.8用德蒙德行列式计算 10

2.9化三角形法 10

2.10加边法 11

2.11拉普拉斯定理的运用 12

2.12行列式计算的Matlab实验 13

3.行列式的应用 15

3.1行列式应用在解析几何中 15

3.2用行列式表示的三角形面积 15

3.3应用行列式分解因式 16

3.4利用行列式解代数不等式 17

3.5利用行列式来证明拉格朗日中值定理 17

3.6行列式在实际中的应用 18

总结 20

参考文献 21

附录1 22

附录2 22

附录3 23

谢辞 24

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1.行列式的定义及性质

1.1行列式的定义

1.1.1排列[1]

在任意一个排列中，若前面的数大于后面的数，则它们就叫做一个逆序，在任意一个排列中，逆序的总数就叫做这个排列的逆序数.

1.1.2定义[1]

阶行列式

就相当于全部不同行、列的个元素的乘积

(1-1-1)

的代数和，这里是的一个排列，每一项（1-1-1）都按下列规则带有符号：当是偶排列时，（1-1-1）是正值，当是奇排列时，（1-1-1）是负值.这一定义可以表述为

，(1-1-2)

这里表示对所有级排列求和.

由于行列指标的地位是对称的，所以为了决定每一项的符号，我们也可以把每一项按照列指标排起来，所以定义又可以表述为

.（1-1-3）

1.2行列式的相关性质

记,,

则行列式叫做行列式的转置行列式.

性质1行列式和它的转置行列式是相等的[2].即.

证明：记中的一般项个元素的乘积是

它处于的不同行和不同列，所以它也处于的不同行和不同列，在中应是

所以它也是中的一项.反之,的每一项也是的一项，即和有相同的项.再由上面（1-2）和（1-3）可知这两项的符号也相同，所以.

性质2.

证明：

性质3如果行列式的某行(列)的元素都为两个数之和[2]，如

，

那么行列式就等于下列两个行列式的和：

可以参照性质2的证明得出结论.

性质4对换行列式中任意两行的位置，行列式值相反.即若设

则

证明：记中的一般项中的个元素的乘积是

它在中处于不同行、不同列，因而在中也处于不同行、不同的列，所以它也是的一项.反之，中的每一项也是中的一项，所以和有相同的项，且对应的项绝对值相同.

现在看该项的符号：它在中的符号为

由于是由交换的、两行而得到的，所以行标的级排列变为级排列，而列标的级排列并没有发生变化.因此和中每一对相应的项绝对值相等，符号相反，即

性质5如果行列式中任有两行元素完全相同，那么行列式为零.

证明：设该行列式为，交换相同的那两行，由性质4可得,故

性质6如若行列式中任有两行或者两列元素相互对应成比例，则行列式为零.

证明：设阶行列式中第行的各个元素为第行的对应元素的倍，由性质2，可以把提到行列式外，然后相乘.则剩下的行列式的第行与第行两行相同，再由性质5，最后得到行列式为零.

性质7把任意一行的倍数加到另一行，行列式的值不改变.

.

2.行列式的计算方法

2.1几种特殊行列式的结果

2.1.1三角行列式

（上三角行列式）.

（下三角行列式）.

2.1.2对角行列式

.

2.2定义法

例1用定义法证明

证明：行列式的一般项可表成列标只能在中取不同的值，故三个下标中至少有一个要取中的一个数，则任意一项里至少有一个为因