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数值分析期末试卷带答案
一、选择题(每小题2分)
1.已知下列函数曲线在点(1,3)处的斜率为5,求该函数在点(1,3)处的表达式。
A.x+2y=4B.x-2y=4C.x+4y=4D.x-4y=4
答案:B
2.求以下数列的拉格朗日插值多项式f(x)。
x0124
y11510
A.f(x)=1+0.5xB.f(x)=1+0.5x+0.5x^2C.f(x)=-2+5x-2x^2+x^3D.f(x)=1+4x+4x^2-2x^3
答案:D
3.化简下列公式。
(∑_(i=1)^n?a_i)^2-∑_(i=1)^n?a_i^2-n
A.2∑_(ij)^n?〖a_ia_j-n〗B.2∑_(ij)^n?〖a_ia_j+n〗C.2∑_(ij)^n?〖a_ia_j〗-n^2D.2∑_(ij)^n?〖a_ia_j〗-n
答案:C
4.已知误差限为0.01,求下列积分近似解的精度。
∫_1^2?〖(2t-3)dt〗
A.0.01B.0.1C.1D.10
答案:A
5.已知一个多项式函数P(x)在x=-1时的函数值为0,在x=1时的函数值为2,在x=2时的函数值为6,在x=3时的函数值为9,求P(x)的最高次项系数。
A.1B.2C.3D.4
答案:C
二、计算题(每小题10分)
1.(3种方法计算,至少两种手算)给定以下数据,求线性拟合结果y=ax+b中a和b的值。
x-1012
y1210
答案:
(1)使用公式法,计算线性拟合直线y=ax+b的系数。
(∑x_i)^2=6
∑x_iy_i=0
∑y_i=4
∑x_i=2
∑x_i^2=6
=〖(∑x_iy_i-∑x_i∑y_i/n)/(∑x_i^2-∑x_i^2/n)=0/2=0〗
=〖∑y_i/n-ba=4/4=1〗
因此,线性拟合结果y=ax+b中a=0,b=1.
(2)使用最小二乘法,计算线性拟合直线y=ax+b的系数。
设F(a,b)=∑(y_i-ax_i-b)^2
对a,b求偏导数,每个式子等于0,得到
a(∑x_i^2)+b(∑x_i)=∑(x_iy_i)
a(∑x_i)+bn=∑y_i
解方程组,得出
a=-0.5,b=1.5
因此,线性拟合结果y=ax+b中a=-0.5,b=1.5.
(3)使用抛物线拟合法,计算二次函数y=ax^2+bx+c的系数。
设F(a,b,c)=∑(y_i-ax_i^2-bx_i-c)^2
对a,b,c分别求偏导数,每个式子等于0,得到
2a(∑x_i^4)+b(∑x_i^3)+c(∑x_i^2)=∑(x_i^2y_i)
a(∑x_i^3)+b(∑x_i^2)+c(∑x_i)=∑(x_iy_i)
a(∑x_i^2)+b(∑x_i)+nc=∑y_i
解方程组,得出
a=-0.5,b=1,c=1.5
因此,线性拟合结果y=ax^2+bx+c中a=-0.5,b=1,c=1.5.
2.(手算)设函数f(x)=e^x,用2次牛顿公式和3次拉格朗日插值多项式在x=0.5处插值,估计f(0.5)的值。
答案:
首先计算一阶导数和二阶导数:
f(x)=e^x,f(x)=e^x
2次牛顿公式:
首先插值点为-0.5,0,0.5,所以x_k是0,h是0.5,x是0.5
f(0)=e^0=1,f(0.5)=e^0.5,
f[0,0.5]=f(0.5)-f(0)/h=e^0.5-1/0.5=1.43656
f(ξ)/2!=e^ξ/2
因此,P_2(x)=1+(x-0)f[0,0.5]+(x-0)(x-0.5)f[0,0.5,0.5],令x=0.5,得到
P_2(0.5)=1+0.5f[0,0.5]+0.25f[0,0.5,0.5]=1+0.5(1.43656)+0.25(e^ξ/2)=1.9686
3次拉格朗日插值多项式:
P_3(x)=(x-0.5)(x-0)f[0,0.5,0]+(x-0.5)(x-0)f[0,0.5,0]+(x-0.5)(x-0.5)(x)f[0,0.5,1,0]
令x=0.5,得到
P_3(0.5)=(0.5-0.5)(0.5-0)f[0,0.5,0]+(0.5-0.5)(0.5-0)f[0,0.5,0]+(0.5-0.5)(0.5-0.5)(0)f[0,0.5,1,0]=f(0)=1
因此,f(0.5)的近似值是1.9686。
三、证明题(每小题15分)
1.(注:只要证明中除了有用语句外没有多余语句即可)已知一个12次多项式f(x)与x轴有三个交点,且在这三个交点处的函数值都为0。求证:f(x)的最高次项系数为正。
证明:
设f(x)的最高次项系数为a_n,那么f(x)的表达式为
f(
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