高数函数-极限和连续总结.docxVIP

函数.极限和连续

函数

决定函数的要素：对应法则和定义域

基本初等函数：（六类）

常数函数（y=c）；（2）幂函数（y=xa）；

（3）指数函数（y=ax，a0,a≠1）;（4）对数函数（y=logax，a0,a≠1）

（5）三角函数；（6）反三角函数。

注:分段函数不是初等函数。特例：y=x

3.构成复合函数的条件：内层函数的值域位于外层函数的定义域之内。

4.复合函数的分解技巧：对照基本初等函数的形式。

5.函数的几种简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性。

第二节极限

1.分析定义

?

当x

总有f

称limx

2.极限存在的充要条件

lim

3.极限存在的判定准则

（1）夹逼定理

f1（x）≤f(x)?f2(x),且

所以lim

（2）单调有界准则

单调有界数列一定有极限。

4.无穷小量与无穷大量

，则称 时，f（x）为无穷小量

，则称时，f（x）为无穷大量

注：零是唯一的可作为无穷小的常数。

性质1有限多个无穷小的代数和或乘积还是无穷小。

注：无限个无穷小量的代数和不一定是无穷小量

性质2有界变量或常数与无穷小的乘积还是无穷小。

5.定义设 是同一极限过程中的无穷小， 则

若 则称a是b比高阶的无穷小,记作

若 则称a是比b低阶的无穷小

若 则称a是b的同阶无穷小;

特别地，当c=1时，则称a是b的等价无穷小,记作

若 则称a是关于b的k阶无穷小。

6.在求两个无穷小量之比的极限时，分子及分母都可以用各自的等价无穷小，

当x→0

sinx

7.两个重要极限

第二节函数的连续性

1.f(x)在x0处连续的充要条件：

2.函数的间断点

3.初等函数的连续性

性质1：连续函数的四则运算也连续。

性质2：连续函数的复合运算也连续。

对连续函数求极限时，极限符号和连续函数符号，可交换顺序。

4.闭区间连续函数的性质

（1）最值定理（2）介值定理（零点定理）