2022届天津市南开中学高三第四次学情调查数学试卷.docVIP

南开中学2022届高中三年级第四次学情调查

数学学科试题

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第I卷1至3页，第II卷4至6页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案填涂在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将答题卡交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ｉ卷

注意事项：

每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

本卷共9小题，每小题5分，共45分。

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）已知集合，，，则

（A）

（B）

（C）

（D）

（2）设，则“”是“”的

（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件

（3）函数的图象大致为

（A）

（B）

（C）

（D）

（4）某市通过统计个大型社区产生的日均垃圾量，绘制了如下图所示的频率分布直方图，数据的分组依次为：，，，，，，.为了鼓励率先实施垃圾分类回收，将日均垃圾量不少于吨的社区划定为试点社区，则这样的试点社区个数是

（A）

（B）

（C）

（D）

（5）设，，，则

（A）

（B）

（C）

（D）

（6）已知三棱锥中，平面，是边长为的等边三角形，若此三棱锥外接球的体积为，那么三棱锥的体积为

（A）

（B）

（C）

（D）

（7）若将函数图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数的图象，已知函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是

（A）在上的最小值是

（B）是的一个对称中心

（C）在上单调递减

（D）的图象关于点对称

（8）已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，若双曲线与抛物线的一个交点为，且，则双曲线的离心率为

（A）

（B）

（C）

（D）2

（9）已知函数若恒成立，则实数的取值范围为

（A）

（B）

（C）

（D）

第II卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2．本卷共11小题，共105分。

二．填空题：本大题共6小题，每小题５分，共30分．

（10）已知复数，则____________.

（11）二项式的展开式中的系数为____________.

（12）过点作一条直线截圆所得弦长为，则直线的方程是____________.

（13）已知正数，满足，则的最小值为____________.

（14）天津是一个古老与现代、保守与开放相融合的城市，历经600多年，特别是近代造就了中西合璧、古今兼容的独特城市风貌，成为国内外游客首选的旅游胜地.2021年元月以来，来天津游览的游客络绎不绝，现通过对来津游客问卷调查，发现每位游客选择继续游玩的概率都是，不游玩的概率都是，若不游玩记分，继续游玩记分，游客之间选择意愿相互独立，从游客中随机抽取人，记总得分为随机变量，则的数学期望____________.

（15）如图，在菱形中，，，，分别为线段，上的点，，，点在线段上，且满足，则____________；若点为线段上一动点，则的取值范围为____________.

三．解答题：本大题共５小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（16）（本小题满分14分）

在中，内角，，的对边分别为，，，已知.

（=1\*ROMANI）求角的大小；

（=2\*ROMANII）若，.求：

（ⅰ）边长；

（ⅱ）的值.

（17）（本小题满分15分）

如图，在四棱锥中，平面，，，点是棱上一点，且，.

（=1\*ROMANI）若，求证：平面；

（=2\*ROMANII）求二面角的正弦值；

（=3\*ROMANIII）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长.

（18）（本小题满分15分）

设是等差数列，是等比数列，公比大于，其前项和为.已知，，，.

（=1\*ROMANI）求和的通项公式；

（=2\*ROMANII）设数列的前项和为.记，求；

（=3\*ROMANIII）求.

（19）（本小题满分15分）

已知椭圆过点，点为椭圆的右顶点，点为椭圆的下顶点，且.

（=1\*ROMANI）求椭圆的方程；

（=2\*ROMANII）过点的直线与椭圆交于另一点，过点的直线与椭圆交于另一点，直线与的斜率的乘积为，点和点关于轴对称，求直线的斜率.

（20）（本小题满分16分）

已知，.（为正整数，）

（=1\*ROMANI）若在处的切线垂直于直线，求实数的值；

（=2\*ROMANII）当时，设函数，，证明：有且仅有个零点；

（=3\*ROMANIII）当时，证明：.

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