【全国大学生数学建模竞赛获奖优秀论文作品学习借鉴】2015年全国数学建模竞赛A题全国一等奖论文17.pdf

题目基于太阳影子变化的定位研究

摘要

近年来视频数据在科学和生活中使用越来越广泛，通过分析视频中太阳影子

的变化可以确定视频的拍摄地点和拍摄日期。以太阳影子的变化为背景提出了四

个问题，本文通过运用地理知识、空间直角坐标系、非线性最小二乘拟合等方法

成功解决了这四个问题，得到了太阳影子变化关于经纬度、日期和时刻变化的函

数方程以及怎样在给定条件下确定最优的位置时间参数解。

针对问题1：首先，以地心为原点建立空间直角坐标系，用位置坐标描述北

京时刻变化；其次，以正午12点为基准根据太阳时角确定北京与地心连线的向

量，同时根据日期序数确定太阳光线过球心与球面的交点的向量；然后，由

nm

向量乘积公式和三角变换确定太阳高度角；最后，用MATLAB作图得到影子长

度的变化曲线。

针对问题2：首先，根据附件1建立直角坐标系，分别确定太阳高度角与时

刻、纬度与日期序数以及赤纬角与经度的关系；其次，引进经线与x轴成的角度

cossin

和太阳方位角farcsin()，带入已知参数，确立y关于x与经纬度的

cosh

函数方程；然后，用MATLAB进行非线性最小二乘拟合，拟合得到经纬度；最

后，计算不同拟合参数不同组数据下的杆长，通过标准差选择最优解。

针对问题3：首先，根据附件2和附件3建立直角坐标系，用日期序数表示

赤纬角；其次，在问题2得到的y关于x与经纬度的函数方程的基础上，增函数

方程的未知参数个数日期序数，得到新的函数方程；然后，用MATLAB进行非

线性最小二乘拟合，拟合得到经纬度以及日期序数；最后，根据拟合参数计算杆

长，通过标准差选择最优解。

针对问题4：首先，运用MATLAB将视频转化为图片，通过分析图片建立合

理的空间直角坐标系，从图片中获取时间对应于影长的y值；其次，建立x关于

y以及太阳高度角和影长之间函数关系，将x用表示；然后，将问题2中得到的

y关于x与经纬度的函数方程化简为y关于经纬度的函数方程并用MATLAB拟

合定位；最后，根据拟合参数结合视频中获取的数据选择最优解。

最后，对所建立的模型和求解方法的优缺点给出了客观的评价，并验证了模

型的可行性。

关键词：影子长度赤纬角太阳高度角非线性最小二乘拟合最优解

1

一.问题重述

1.1.太阳影子定位的背景

如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，根据地理

以及物理知识，影子长度受到经纬度、日期以及时刻的影响。通过影子的变化，

能够确定影子所在的位置以及日期和时刻。太阳影子定位技术就是通过分析视频

中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。

1.2.题中涉及知识点的说明

1.赤纬角是指地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角。

[4]

2.太阳时角是指观测点天球子午圈沿天赤道量至太阳所在时圈的角距离。

3.太阳方位角指太阳光线在地平面上的投影与当地经线的夹角。

4.太阳高度角是指某地太阳光线与通过该地与地心相连的地表切线的夹角。

1.3.所要解决问题的说明

1.根据影子长度变化的影响因素，分析影子长度关于各个参数的变化规律，

建立影子长度变化的数学模型。应用模型画出2015年10月22日北京时间

9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3

米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。

2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立影子坐标关

于经纬度的数学模型，确定直杆所处的地点。将模型应用于附件1的影子顶点坐

标数据，通过求解模型确定若干