几种特殊的代数系统.ppt

定理6.36.若H，*是群G，*的子群，则或者aH∩bH=?或者aH=bH。定理6.4.4若H,*是群G,*的子群，对任意a,b∈G,则a,b属于H的同一左陪集?b-1*a∈H即aH=bH?b-1*a∈H第85页,共109页，2024年2月25日，星期天推论左陪集aH中的任何元素a1均可决定该陪集，或者说，陪集中的每个元素都可作为陪集的代表。因为若a1?aH，则存在h1?H，使得a1=a*h1，于是a-1*a1=h1?H。再根据定理6.4.4知，a1H=aH。第86页,共109页，2024年2月25日，星期天由于G中每个元素a必在H的左陪集aH中，从定理6.4.3又知道，G中每个元素恰好能属于H的某个左陪集中。因此H的左陪集簇构成G的划分，而且划分中每个块与H具有相同的元素个数。因此可得下面结论。若H,*是群G,*的子群，则G，*中的H的左陪集簇构成G的一种划分。并且称它为G的对于H的左陪集划分。第87页,共109页，2024年2月25日，星期天假若群G，*为有限群，其子群是H，*，且|G|=n，|H|=m，则G的对于H的左陪集划分可表为G=a1H∪a2H∪···∪akH，其中k为不同的左陪集个数，称为H在G中的指标，由于每个左陪集皆有m个元素，故G具有km个元素，即n=mk，这便得到著名拉格朗日(J.L.Lagrange)定理：第88页,共109页，2024年2月25日，星期天定理6.4.6若H，*是有限群G，*的子群，那么|H|||G|(H的阶整除G的阶）。即：任何有限群的阶均可被其子群的阶所整除。。第89页,共109页，2024年2月25日，星期天推论1:有限群G，*中任何元素的阶均为G的阶因子。推论2:质数阶的群没有非平凡子群。推论3：4阶群同构于4阶循环群或Klein四元群第90页,共109页，2024年2月25日，星期天定理6.4.5若H,*是群G,*的子群，则R={a,b|a,b∈H，a-1*b∈H}是G上的一个等价关系，且[a]R=aR,称R为群G上H的左陪集等价关系。第91页,共109页，2024年2月25日，星期天6.6环与域定义6.6.1环设R,+,·是代数系统,R为集合,+,·为二元运算,如果(1)R,+为阿贝尔群（加群）,(2)R,·为半群,(3)乘法·对加法+适合分配律,则称R,+,·是环约定：定义中的+,·表示一般二元运算，称为环中的加法和乘法运算，不一定是数乘和数加第92页,共109页，2024年2月25日，星期天例如Z,+,·,Q,+,·和R,+,·都是环,+和·表示普通加法和乘法.Mn(R),+,·是环,其中Mn(R)是n阶实矩阵的集合,+,·分别是矩阵加法和乘法.Zn,?,⊙是模n的整数环,其中Zn＝{0,1,…,n－1},?和⊙分别表示模n的加法和乘法.Mn×n,+,×是环，其中Mn×n是n×n阶实矩阵的全体，＋与×是矩阵的加法和乘法.第93页,共109页，2024年2月25日，星期天定理6.6.1设R,+,·是环,0为加法幺元,-a为a的逆元，那么对(1)?a∈R,a·0＝0·a＝0.(2)?a,b∈R,(-a)b＝a(-b)＝-(ab).(3)?a,b∈R,(-a)(-b)＝ab.(4)?a,b,c∈R,a(b-c)=ab—ac,(b-c)a＝ba－ca.第94页,共109页，2024年2月25日，星期天(1)?a∈R,a·0＝0·a＝0.证明a·0＝a·(0+0)＝a·0+a·0,由加法消去律得0＝a·0.同理可证0·a＝0.(2)?a,b∈R,(-a)b＝a(-b)＝-(ab).证明(-a)b+ab=(-a+a)b＝0.b＝0类似地有ab+(-a)b＝0,所以(-a)b是ab的加法逆元,即-(ab).同理可证a(-b)=-(ab)第95页,共109页，2024年2月25日，星期天(3)?a,b∈R,(-a)(-b)＝ab.证明:(-a)(-b)＝-(a(－b))＝-(-(ab))＝ab,(4)?a,b,c∈R,a(b-c)=ab-ac,(b-c)a＝ba－ca.证明:a(b-c