近世代数课件(全)--3-5-环的同态、极大理想.ppt

数学与计算科学学院近世代数第三章环与域§5环的同态、最大理想一、环同态的定义与性质定理1问：同态环有无零因子传递吗？定理3定理4（环的挖补定理）例4二、环同态基本定理例5三、最大理想引理练习：求Z12的全部最大理想.定义1设是两个环,是集合的映射.如果对任意的,有，则称为环的一个同态.为满映射,则称为满同态,,并称同态.既是单映射又是满映射,则称为同构，记作,并称同构.如果记作如果若与是各有两个代数运算的系统，，则当是环时，也是环.定理2若是环，且，则(4)当是交换环时，也是交换环；是有单位元环时，也是有与(5)当单位元环时，且且例1为4阶循环环，即，且.有零因子，无.例2做成环.的零元是，而，故有零因子,无.注：同态环有无零因子不具传递性；同态环性质不完全传递；但是同构环性质完全相同.若与是环，且，则是无零因子环（整环、除环、域）是无零因子环（整环、除环、域）设为环的子环，且与环同构，，又若，即与在里的余集无公共元素，则存在,使，即环证明:令令规定运算设环又令定理5（定义2设为环的同态,称集合为同态的核.）定理6（环同态基本定理）设为环的同态满射,则（定理7子环与理想在同态满射之下不变.）一个环R的一个不等于R除了R同I自己以外，没有包含I的理想.定义3：的理想I叫做一个最大理想，假如，例6：求整数环的所有最大理想.所有理想：是最大理想是素数.引理1：假定I≠R是环R的理想，I是最大理想.剩余类环R/I只有平凡理想引理2：如果一个有单位元的交换环R只有平凡理想，那么R一定是一个域.定理8：假定R是一个有单位元的交换环，I是最大理想。I是R的一个理想，则R/I是一个域定理9：是域是素数.**