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一种修正的简化的GMRES算法的开题报告

题目：一种修正的简化的GMRES算法

摘要：GMRES算法是一种常用的求解大型稀疏非对称线性方程组的迭代方法。但是，GMRES算法的计算量较大，尤其是在高维情况下，迭代次数较多，计算时间较长。为了改善这一问题，我们提出了一种修正的简化的GMRES算法。该算法采用部分退化Krylov子空间，可以大大减少GMRES算法的迭代次数和计算时间，并且在保证求解精度的前提下具有一定的加速性能。

关键词：GMRES算法；非对称线性方程组；迭代方法；部分退化Krylov子空间；计算时间；加速性能。

一、研究背景和意义

在科学和工程领域中，非对称线性方程组的求解是一个重要的问题。常见的方法是采用直接求解方法或迭代方法。然而，对于大型稀疏的线性方程组，直接求解方法的计算量较大，时间复杂度高，难以承受。因此，迭代方法成为了求解大型稀疏非对称线性方程组的重要方法。

GMRES算法是一种常用的迭代方法，它可以有效地求解大型稀疏非对称线性方程组，并且具有良好的数值稳定性。但是，GMRES算法的缺点是计算量较大，尤其是在高维情况下，迭代次数较多，计算时间较长。

因此，为了改善GMRES算法的计算量和迭代次数，提高求解效率，我们提出了一种修正的简化的GMRES算法。该算法采用部分退化Krylov子空间，可以减少GMRES算法的迭代次数和计算时间，并且在保证求解精度的前提下具有一定的加速性能。

二、研究内容和方法

我们将研究基于部分退化Krylov子空间的修正的简化的GMRES算法。具体来说，我们将利用部分退化的特征向量来构建Krylov子空间，从而避免了其它方法中需要重新正交化的问题。此外，我们还将采用基于Arnoldi迭代的方法来求解部分退化的特征向量，以得到更加准确的结果。

对于所提出的算法，我们将进行数值实验来测试其迭代次数和计算时间。我们将使用一些标准的测试问题集对算法进行测试，比较其与传统GMRES算法和其它加速算法在计算时间和迭代次数方面的差异。此外，为了进一步提高算法的效率，我们还将考虑如何合理地选择参数以及对算法进行进一步的优化。

三、预期成果

我们预计，所提出的算法将能够有效地减少GMRES算法的计算量和迭代次数，并且在保证求解精度的前提下具有一定的加速性能。我们将通过数值实验来验证算法的效率和准确性，在实践中进行应用，并最终将结果发表在相关的学术期刊上。

四、研究难点和解决方案

1.如何利用部分退化Krylov子空间构建算法。

解决方案：结合Arnoldi迭代算法，利用部分退化的特征向量构建Krylov子空间。

2.如何处理算法中的数值稳定性问题。

解决方案：考虑采用数值稳定性较好的迭代算法，并对算法中涉及到的矩阵进行预处理。

3.如何对算法进行进一步的优化。

解决方案：针对算法中的不足，通过参数调节等方式，进一步优化算法，并进行实验测试。