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重难点突破05二次函数与几何的动点及最值、存在性问题
目录
题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题
题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题
题型03已知点关于直线对称点问题
题型04特殊角度存在性问题
题型05将军饮马模型解决存在性问题
题型06二次函数中面积存在性问题
题型07二次函数中等腰三角形存在性问题
题型08二次函数中直角三角形存在性问题
题型09二次函数中全等三角形存在性问题
题型10二次函数中相似三角形存在性问题
题型11二次函数中平行四边形存在性问题
题型12二次函数中矩形存在性问题
题型13二次函数中菱形存在性问题
题型14二次函数中正方形存在性问题
二次函数常见存在性问题:
(1)等线段问题:将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来,再利用点到点或点到直线的距
离公式列出方程或方程组,然后解出参数的值,即可以将线段表示出来.
【说明】在平面直角坐标系中该点在某一函数图像上,设该点的横坐标为m,则可用含m字母的函数解析
式来表示该点的纵坐标,简称“设横表纵”或“一母式”.
(2)平行y轴动线段最大值与最小值问题:将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来,再用
纵坐标的较大值减去较小值,再利用二次函数的性质求出动线段的最大值或最小值.
(3)求已知点关于直线对称点问题:先求出直线解析式,再利用两直线垂直的性质(两直线垂直,斜率之
积等于-1)求出已知点所在直线的斜率及解析式,最后用中点坐标公式即可求出对称点的坐标.
(4)“抛物线上是否存在一点,使其到某一直线的距离为最值”的问题:常常利用直线方程与二次函数解
析式联立方程组,求出切点坐标,运用点到直线的距离公式进行求解.
(5)二次函数与一次函数、特殊图形、旋转及特殊角度综合:图形或一次函数与x轴的角度特殊化,利用
与角度有关知识点求解函数图像上的点,结合动点的活动范围,求已知点与动点是否构成新的特殊图形.
2.二次函数与三角形综合
(1)将军饮马问题:本考点主要分为两类:
①在定直线上是否存在点到两定点的距离之和最小;
②三角形周长最小或最大的问题,主要运用的就是二次函数具有对称性.
(2)不规则三角形面积最大或最小值问题:利用割补法将不规则三角形分割成两个或以上的三角形或四边形,
在利用“一母式”将动点坐标表示出来,作线段差,用线段差来表示三角形的底或高,用面积公式求出各
部分面积,各部分面积之和就是所求三角形的面积.将三角形的面积用二次函数的结构表示出来,再利用二
次函数的性质求出面积的最值及动点坐标.
(3)与等腰三角形、直角三角形的综合问题:对于此类问题,我们可以利用两圆一线或两线一圆的基本模型来
进行计算.
问题分情况找点画图解法
分别以点A,B为圆分别表示出点A,B,P的坐
心,以AB长为半径标,再表示出线段AB,BP,
以AB为
画圆,与已知直线的AP的长度,由①AB=AP;②
等腰
交点P,P,P,PAB=BP;③BP=AP列方程
1245
腰
即为所求解出坐标
三已知点A,B和直线
分别表示出点A,B,P的坐
角l,在l上求点P,使△
作线段AB的垂直平标,再表示出线段AB,
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