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上海市上海中学导数及其应用多选题试题含答案

一、导数及其应用多选题

1．已知函数，则下列结论正确的是（）

A．函数存在两个不同的零点

B．函数既存在极大值又存在极小值

C．当时，方程有且只有两个实根

D．若时，，则的最小值为

【答案】ABC

【分析】

首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．

【详解】

对于A．，解得，所以A正确；

对于B．，

当时，，当时，或，

所以是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，

所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确．

对于C．当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；

对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．

故选：ABC.

【点睛】

易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．

2．函数，则下列说法正确的是（）

A． B．

C．若有两个不相等的实根，则 D．若均为正数，则

【答案】BD

【分析】

求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项．

由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A，由函数性质判断BC，设，且均为正数，求得，再由函数性质判断D．

【详解】

由得：

令得，

当x变化时，变化如下表：

x

0

单调递增

极大值

单调递减

故，在上递增，在上递减，是极大值也是最大值，时，时，，且时，时，，，

A．

，故A错

B．，且在单调递增

，故：B正确

C．有两个不相等的零点

不妨设

要证：，即要证：在单调递增，∴只需证：即：只需证：……①

令，则

当时，在单调递增

，即：这与①矛盾，故C错

D．设，且均为正数，则

且

，故D正确．

故选：BD．

【点睛】

关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两个变量，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明．

3．关于函数，下列判断正确的是（）

A．是的极大值点

B．函数有且只有1个零点

C．存在正实数，使得恒成立

D．对任意两个正实数，，且，若，则

【答案】BD

【分析】

对于A，利用导数研究函数的极值点即可；

对于B，利用导数判断函数的单调性，再利用零点存在性定理即得结论；

对于C，参变分离得到，构造函数，利用导数判断函数的最小值的情况；

对于D，利用的单调性，由得到，令，由得，所以要证，即证，构造函数即得．

【详解】

A：函数的定义域为，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以是的极小值点，故A错误．

B：，，所以函数在上单调递减．又，，所以函数有且只有1个零点，故B正确．

C：若，即，则．令，则．令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以，所以在上单调递减，函数无最小值，所以不存在正实数，使得恒成立，故C错误．

D：因为在上单调递减，在上单调递增，

∴是的极小值点．

∵对任意两个正实数，，且，若，则．

令，则，由，得，

∴，即，即，解得，，所以．

故要证，需证，需证，需证．

∵，则，

∴证．令，，，所以在上是增函数．

因为时，，则，所以在上是增函数．

因为时，，则，所以，

∴，故D正确．

故选：BD．

【点睛】

关键点点睛：利用导数研究函数的单调性、极值点，结合零点存在性定理判断A、B的正误；应用参变分离，构造函数，并结合导数判断函数的最值；由函数单调性，应用换元法并构造函数，结合分析法、导数证明D选项结论.

4．对于定义域为的函数，为的导函数，若同时满足：①；②当且时，都有；③当且时，都有，则称为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】

结合“偏对称函数”的性质，利用导数的方法，分别讨论四个函数是否满足三个条件，即可得到所求结论．

【详解】

条件①；

由选项可得：，，，，即ABCD都符合；

条件②，或；

即条件②等价于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；

对于，则，

由可得，，即函数单调递增；

由可得，，即函数单调递减；满足条件②；

对于，则显然恒成立，所以在定义域上单调递增，不满足条件②；

对于，当时，显然单调递减；当时，显然单调递增；满足条件②；

对于，当时，显然单调递减；当时，显然单调递增，满足条件②；

因此ACD满足条件②；

条件③当且时，，都有，即，

对于，，

因为，当且仅当，即时，等号成立，

又，所以，

则

令，，

所以在上显然恒成立，

因此