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第一章函数与极限

1.2-1.3数列和函数的极限

一、根据数列或函数极限的定义证明下列极限:

1.；2.；

3.； 4.；

5.证明，并求正数，使得当时，就有.

（）

二、设为一数列.

1.证明：若，则；

2.问：(1)的逆命题“若，则”是否成立？若成立，证明之；若不成立，举出反例.（逆命题不成立。反例：。）

三、判断下列命题的正误：

1.若数列和都收敛，则数列必收敛；（正确）

2.若数列和都发散，则数列必发散；（错误）

3.若数列收敛，而数列发散，则数列必发散。（正确）

四、证明：对任一数列，若且，则.

五、证明：的充分必要条件是且.

六、根据函数的图形写出下列极限（如果极限存在）：

1.，和不存在

2.，和不存在

3.，和不存在

七、证明：若存在，则函数在的某个去心邻域内有界.

八、证明：函数当时的极限存在的充分必要条件是左极限，右极限均存在并且相等，即.

九、设，求，和.

十、设，求，和不存在

1.4无穷小与无穷大

一、填空题

1.当时，是无穷小；当时，是无穷大.

2.当时，是无穷小；当时，是无穷大.

3.当时，是无穷小；当时，是负无穷大；当时，是正无穷大.

二、选择题

当时，函数是（D）

（A）无穷小； （B）无穷大；

（C）有界的，但不是无穷小； （D）无界的，但不是无穷大.

三、证明函数在内无界，但当时，不是无穷大.

四、判断下列命题的正确性：

1.两个无穷小的和也是无穷小. （正确）

2.两个无穷大的和也是无穷大. （错误）

3.无穷小与无穷大的和一定是无穷大. （正确）

4.无穷小与无穷大的积一定是无穷大. （错误）

5.无穷小与无穷大的积一定是无穷大. （错误）

6.无穷大与无穷大的积也是无穷大. （正确）

五、举例说明：

1.两个无穷小的商不一定是无穷小；

2.无限个无穷小的和不一定是无穷小.

六、根据定义证明：

1.当时，为无穷小；

2.当时，为无穷大；

3.当时，为无穷小.

1.5极限运算法则

一、计算下列极限:

1.

2.

3.

4.（是正整数）

5.

6.

二、计算下列极限：

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

三、若，求的值.（）

四、若，求的值.（）

五、计算下列极限：

1.

2.

3..

六、计算下列极限：

1.

2.

3..

七、设，分别求函数在与的左极限、右极限和极限.（，不存在）

八、设，试求的表达式.（）

1.6极限存在的两个准则两个重要极限

一、利用夹逼定理求下列极限：

1.

2.

3.

二、证明：.

三、设，证明：.

四、设，证明

五、利用数列的单调有界准则证明下列数列收敛，并求出极限：

1.；（）

2..（）

六、设，，.

1.证明数列单调增加，数列单调减少且满足；

2.证明数列和都收敛，并且有相同的极限.

七、计算下列极限:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7..

八、计算下列极限:

1.

2.

3.

4.

5.

6..

九、已知，求的值.（）

十、设，求和.（）

十一、设，已知存在，求的值.（）

1.7无穷小的比较

比较下列各对无穷小：

（后者高阶）

（同阶）

（同阶）

（前者高阶）

证明：当时，有以下等价无穷小成立：

；

.

利用等价无穷小代换计算下列极限：

1.

2.

3.

四、当时，下列四个无穷小中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小?

A.B.C.D.（D）

五、证明：若是的高阶无穷小，则。

六、证明无穷小的等价关系具有下列性质：

1.（自反性）；

2.若，则（对称性）；

3.若，则（传递性）.

1.8-1.9函数的连续性与间断点连续函数的运算与初等函数的连续性

一、求函数，当时的增量。

二、下列函数的间断点，并指出其类型：

1.，（为可去间断点，为无穷间断点）；

2.，（为跳跃断点，为无穷间断点）；

3.（为跳跃断点）.

三、求函数的连续区间.?（）

四、求函数的间断点和连续区间，并指出间断点的类型。

（连续区间：，为跳跃间断点）

五、设函数在内连续，求的值。.（）

六、利用初等函数的连续性计算极限：

1.

2.

3.

七、判断下列命题的正确性：

设和在内有定义

1.若和为连续函数，则也为连续函数。（正确）

2.若为连续函数，有间断点，则必有间断点（错误）

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