黑龙江省九校联盟（齐齐哈尔五校黑河四校）2023-2024学年高一下学期4月期中联合考试数学试题（含答案解析）.docx

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黑龙江省九校联盟（齐齐哈尔五校黑河四校）2023-2024学年高一下学期4月期中联合考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列命题中正确的是（????）

A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量

C．若向量，同向，且，则 D．单位向量的模都相等

2．化简（????）

A． B． C． D．

3．（????）

A． B． C． D．

4．在中，，则（????）

A．4 B． C．3 D．

5．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到的图象，则（????）

A． B．

C． D．

6．若，，则（????）

A．4 B． C．5 D．

7．已知函数的一段图象过点，如图所示，则函数（????）

A． B．

C． D．

8．数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出以下定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称为三角形的欧拉线.已知点分别为的重心，垂心，外心，为的中点，则（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．在边长为1的正方形中，分别为的中点，则（????）

A． B．

C． D．

10．在中，内角的对边分别为，则下列说法正确的是（????）

A．若，则为等腰三角形

B．

C．若，则是锐角三角形

D．若，则的面积为

11．已知函数在区间上有且仅有3个零点，则（????）

A．在区间上有且仅有4条对称轴

B．的最小正周期可能是

C．的取值范围是

D．在区间上单调递增

三、填空题

12．已知向量，，则.

13．在边长为2的菱形中，分别为的中点，，则.

14．已知，当时，，则.

四、解答题

15．已知为坐标原点，，，.

(1)若三点共线，求实数的值；

(2)若点满足，求的最小值.

16．已知向量与的夹角为.

(1)求的值；

(2)若，求在上的投影向量的坐标.

17．已知向量的夹角为.

(1)求；

(2)若存在实数，使得与的夹角为锐角，求的取值范围.

18．如图，在梯形中，，，，点分别为线段，上的三等分点，点是线段上的一点.

(1)求的值；

(2)求的值；

(3)直线分别交线段于M，N两点，若B，N，D三点在同一直线上，求的值.

19．已知函数.

(1)求的单调递增区间；

(2)在锐角中，角所对的边分别为，，且，求面积的取值范围.

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参考答案：

1．D

【分析】根据零向量，单位向量，相等向量的定义判断即可.

【详解】对于A：模为的向量叫零向量，零向量的方向是任意的，故A错误；

对于B：相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B错误；

对于C：向量不可以比较大小，故C错误；

对于D：单位向量的模为，都相等，故D正确.

故选：D

2．A

【分析】利用平面向量的加法和减法运算求解.

【详解】解：，

，

故选：A

3．A

【分析】利用诱导公式化简后即可求值.

【详解】.

故选：A

4．C

【分析】先求角B，然后由正弦定理可得.

【详解】因为，所以，

由正弦定理得，解得.

故选：C

5．B

【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，再得到伸缩变换后的解析式.

【详解】将函数的图象向左平移个单位，

可得的图象；

再将图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍可得．

故选：B．

6．D

【分析】利用二倍角公式及两角和的余弦公式展开得到，即可求出，再由二倍角公式求出，最后由两角和的正切公式计算可得.

【详解】因为，

所以

即，

因为，所以，

所以，则，

所以，

所以.

故选：D

7．D

【分析】通过三个连续零点的值可以求出函数的周期，根据最小正周期公式可以求出的值，将特殊点代入解析式中，可以求出，的值，进而确定函数解析式.

【详解】由图知，，则.

由图知，在取得最大值，且图象经过，故，

所以，故，

又因为，所以，

函数又经过，故，得.

所以函数的表达式为．

故选：D.

8．B

【分析】结合题意利用点分别为的垂心，外心得到，并得到，借助相似及重心性质可得，结合向量关系表示即可.

【详解】因为为的外心，为的中点,所以,

因为为的垂心,所以,

所以,

易得

所以，所以.

因为为的重心，所以.

所以,

所以.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于利用重心，垂心，外心的性质得到，利用对应