广东省深圳市福田中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案解析）.docx

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广东省深圳市福田中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知i为虚数单位，，则（????）

A． B． C． D．

2．已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是

A．若则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

3．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．已知向量，，则（????）

A． B． C． D．

5．已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（????）

A．30° B．60° C．90° D．120°

6．已知正四棱台的上?下底面边长分别为和，且，则该棱台的体积为（????）

A． B． C． D．

7．在平行四边形中，点是的中点，点分别满足，设，若，则（????）

A． B．

C． D．

8．已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为（???）

A．8 B．12 C．16 D．24

二、多选题

9．已知关于的方程的两根为和，则（????）

A． B．

C． D．

10．如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内，如果四边形是边长为2的正方形，则（??????）

A．异面直线AE与DF所成角的大小为 B．平面平面

C．此八面体一定存在外接球 D．此八面体的内切球表面积为

11．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（???）

??

A．若，则M为的重心

B．若M为的内心，则

C．若，，M为的外心，则

D．若M为的垂心，，则

三、填空题

12．在中，内角的对边分别是，且，平分交BC于，，，则的面积为.

13．如图所示，在直三棱柱中，，，，点是线段上的一动点，则线段的最小值为．

14．如图，在矩形中，，点分别在线段上，且，则的最小值为．

四、解答题

15．如图，在四棱锥中，，，，平面⊥平面.

(1)求证：；

(2)设，求三棱锥的体积.

16．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是等边三角形，，点分别为和的中点.

(1)求证：平面;

(2)求证:平面平面;

17．记的内角，，的对边分别为，，，的面积为.已知.

(1)求；

(2)若点在边上，且，，求的周长.

18．在中，角的对边分别为，已知.

(1)若，求外接圆的面积;

(2)若为锐角三角形，求的取值范围.

19．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.”在费马问题中所求的点称为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且

(1)求；

(2)若，设点为的费马点，求；

(3)设点为的费马点，，求实数的最小值.

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参考答案：

1．B

【分析】利用复数的除法运算求解.

【详解】解：由，

得，

故选：B

2．B

【详解】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.

考点：空间点线面位置关系．

3．D

【分析】结合正方体可得正确的选项.

【详解】如图在正方体中，四棱锥的四个侧面都是直角三角形，

故选：D.

【点睛】根据题意,可将此四棱锥放到正方体中,即取正方体的一个上顶点,四个下顶点,然后结合正方体的特征,利用线面垂直的判定与性质进行分析即可得到侧面直角三角形的个数,这是立体几何中常用到的方法,即补体法,把问题转化到熟知的几何体中处理即可.

4．C

【分析】利用平面向量数量积的坐标运算结合平面向量的模长公式可求得结果.

【详解】因为向量，，则

.

故选：C.

5．B

【分析】由条件结合投影向量的定义可求，再根据向量夹角余弦公式求结论.

【详解】因为向量在向量上的投影向量为，是两个单位向量，

所以，

所以，又，

所以，

所以，

又，

所以，又，

所以向量与向量的夹角为