考研高等数学重要知识点解析.doc

钻石卡辅导：2012考研数学重要知识点解析之高等数学（八）

数学虽然属于理科科目，但是仍然有许多重要的知识点需要记忆和运用。万学海文数学钻石卡考研辅导专家们在此，特别为20XX年的广大考生归纳一下高等数学的部分知识点。这次我们介绍的是旋转曲面的方程的求法。

旋转曲面在考研试题中，单独考查情况比较少，一般会出现在多元函数微分学的几何应用中，或者在三重积分、曲面积分中经常会碰到，作为解题的中间步逐出现。

1、定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫旋转曲面的母线和轴。

2、旋转曲面方程的求法：

设在yoz坐标面上有一已知曲线C，它的方程为把这曲线绕z轴旋转一周，就得到一个以z轴为轴的旋转曲面，方程为．

曲线绕哪个轴旋转，对应变量不变，另外的变量将缺的变量补上改成正负二者的完全平方根的形式．

【例1】求直线绕轴旋转所得旋转面方程.

【解析】设为旋转面上任一点，它对应曲线上的点为，这里，则，又满足，则，，代入上式知，

，

即.

【例2】计算曲面积分其中是由曲线

绕轴旋转一周而成的曲面，其法向量与轴正向的夹角恒大于.

【解析】积分曲面的方程为，

添加曲面，其法向量与y轴的正向相同，设所围成的闭区域为，则有

其中.