考研数学三(二重积分)模拟试卷2(题后含答案及解析).docVIP

考研数学三（二重积分）模拟试卷2(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设平面区域D：(x－2)2+(y－1)2≤1，若比较的大小，则有()

A．I1=I2

B．I1＞I2

C．I1＜I2

D．不能比较

正确答案：C

解析：由二重积分的比较性质，只需比较D上(x+y)2与(x+y)3的大小，即x+y与1的大小．从几何的角度也就是考查圆域D与直线x+y=1的位置关系．因积分域D的圆心(2，1)到直线x+y=1的距离d=＞1(1为圆的半径)，故闭域D在直线x+y=1的上方，即当(x，y)∈D时，有x+y＞1，从而在D上(x+y)2＜(x+y)3，则I1＜I2．知识模块：二重积分

2．设m和n为正整数，a＞0，且为常数，则下列说法不正确的是()

A．当m为偶数，n为奇数时，xmyndxdy一定为0

B．当m为奇数，n为偶数时，xmyndxdy一定为0

C．当m为奇数，n为奇数时，xmyndxdy一定为0

D．当m为偶数，n为偶数时，xmyndxdy一定为0

正确答案：D

解析：令则对于cosmφsinnφdφ，令φ=π+t，则cosmφsinnφdφ=(－1)m(－1)ncosmtsinntdt．①当m和n中有且仅有一个为奇数时，(－1)m(－1)n=－1，从而积分为零；②当m和n均为奇数时，(－1)m(－1)n=1，从而由于cosmφsinnφ为上的奇函数，故积分为零．总之，当m和行中至少一个为奇数时，xmyn=0．故答案选择(D)．知识模块：二重积分

3．，其中D={(x，y)｜(x，y)x2+y2≤1)，

A．c＞b＞a

B．a＞b＞c

C．b＞a＞c

D．c＞a＞b

正确答案：A

解析：由于D={(x，y)｜x2+y2≤1)，所以(x2+y2)2≤x2+y2≤≤1．由cosx在上单调减少可得cos(x2+y2)≥cos(x2+y2)≥cos≥0．因此有c＞b＞a．知识模块：二重积分

4．设D：｜x｜+｜y｜≤1，则(｜x｜+y)dxdy=()

A．0

B．

C．

D．1

正确答案：C

解析：因为D关于x，y轴都对称，故ydxdy=0，且有，其中D1=｛(x，y)｜x+y≤1，x≥0，y≥0｝．于是知识模块：二重积分

5．化为极坐标系中的累次积分为()

A．

B．

C．

D．

正确答案：A

解析：由y=1－，有x2+(y－1)2=1(y≥1)，所以，积分区域D是圆x2+(y－1)2≤1的右半圆在直线y=x上方的部分，于是，其极坐标形式为f(rcosθ，rsinθ)rdr，其中D=｛(r，θ)0≤r≤2sinθ，｝知识模块：二重积分

6．设D由直线x=0,y=0,x+y=1围成，已知∫01f(x)dx=∫01xf(x)dx，则f(x)dxdy=()

A．2

B．0

C．

D．1

正确答案：B

解析：由∫01f(x)dx=∫01xf(x)dx，有∫01(1－x)f(x)dx=0，于是f(x)dxdy=∫01dx∫01－xf(x)dy=∫01(1－x)f(x)dx=0．知识模块：二重积分

填空题

7．(x2+y2)dxdy=_________．

正确答案：

解析：令x=rsinθ，y=rcosθ，则原式=∫01dr∫02π(r2sin2θ+r2cos2θ)rdθ=∫01r3dr∫02πdθ=2π知识模块：二重积分

8．交换二次积分次序：=_________．

正确答案：∫04dxf(x，y)dy

解析：由已知可知，所求积分区域为y=，x=y2所围成的区域，所以知识模块：二重积分

9．交换二次积分次序：=_________．

正确答案：∫01dyf(x，y)dx

解析：由已知可知，所求积分区域为y=1，y=－x2+1，y=lnx所围成的区域，所以知识模块：二重积分

10．设f(x)为连续函数，a与m是常数且a＞0，将二次积分I=∫0ady∫0yem(a-x)f(x)dx化为定积分，则I=_________．

正确答案：∫0aem(a－x)f(x)(a－x)dx

解析：被积函数仅是x的函数，交换积分次序即可完成一次定积分．由二次积分的积分限可知D为：0≤x≤y，0≤y≤a，故I=∫0adx∫xaem(a－x)f(x)dy=∫0aem(a－x)f(x)(a－x)dx．知识模块：二重积分

11．设f(u)为连续函数，D是由y=1，x2－y2=1及y=0所围成的平面闭区域，则I==________．

正确答案：0

解析：因积分域D关于y轴对称，被积函数xy(y2)关于变量x是奇函数，故xf(y2)dσ=