考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷20.docVIP

考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷20

(总分：48.00，做题时间：90分钟)

一、选择题(总题数：5，分数：10.00)

1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）

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解析：

2.设A为n阶实对称矩阵，下列结论不正确的是()．

（分数：2.00）

?A.矩阵A与单位矩阵E合同?√

?B.矩阵A的特征值都是实数

?C.存在可逆矩阵P，使PAP-1为对角阵

?D.存在正交阵Q，使QTAQ为对角阵

解析：解析：根据实对称矩阵的性质，显然B、C、D都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以A不一定与单位矩阵合同，选A．

3.设n阶矩阵A与对角矩阵相似，则()．

（分数：2.00）

?A.A的n个特征值都是单值

?B.A是可逆矩阵

?C.A存在n个线性无关的特征向量?√

?D.A一定为n阶实对称矩阵

解析：解析：矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是其有n个线性无关的特征向量，A有竹个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样A是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选C．

4.设α，β为四维非零列向量，且α⊥β，令A＝αβT，则A的线性无关特征向量个数为()

（分数：2.00）

?A.1

?B.2

?C.3?√

?D.4

解析：解析：因为α，β为非零向量，所以A＝αβT≠O，则r(A)≥1，又因为r(A)＝r(αβT)≤r(α)＝1，所以r(A)＝1．令AX＝λX，由A2X＝αβT.αβTX＝O＝λ2X得λ＝0，因为r(0E－A)＝r(A)＝1，所以A的线性无关的特征向量个数为3，应选C．

5.设A，B为正定矩阵，C是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是()．

（分数：2.00）

?A.CTAC

?B.A-1＋B-1

?C.A*＋B*

?D.A－B?√

解析：解析：显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为A，B正定，所以A-1，B-1及A*，B*都是正定的，对任意X≠0，XT(CTAC)X＝(CX)TA(CX)＞0(因为C可逆，所以当X≠0时，CX≠0)，于是CTAC为正定矩阵，同样用定义法可证A-1＋B-1与A*＋B*都是正定矩阵，选D．

二、填空题(总题数：4，分数：8.00)

6.设A～B，其中，则χ＝1，y＝2．

（分数：2.00）

填空项1:__________________?（正确答案：正确答案：3）

填空项1:__________________?（正确答案：1．）

解析：解析：因为A～B，所以解得χ＝3，y＝1．

7.设A是三阶实对称矩阵，其特征值为λ1＝3，λ2＝λ3＝5，且λ1＝3对应的线性无关的特征向量为α1＝，则λ2＝λ3＝5对应的线性无关的特征向量为1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________?（正确答案：正确答案：[*]）

解析：解析：因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，令λ2＝λ3＝5对应的特征向量为，由α1T＝0得λ2＝λ3＝5对应的线性无关的特征向量为α2＝，α3＝．

8.设α，β为三维非零列向量，(α，β)＝3，A＝αβT，则A的特征值为1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________?（正确答案：正确答案：0或者3）

解析：解析：因为A2＝3A，令AX＝λX，因为A2X＝λ2X，所以有(λ2－3A)X＝0，而X≠0，故A的特征值为0或者3，因为λ1＋λ2＋λ3＝tr(A)＝(α，β)，所以λ1＝，λ2＝λ3＝0．

9.设α＝)是矩阵A＝的特征向量，则a＝1，b＝2．

（分数：2.00）

填空项1:__________________?（正确答案：正确答案：2）

填空项1:__________________?（正确答案：3．）

解析：解析：由Aα＝λα得解得λ＝5，a＝2，b＝3．

三、解答题(总题数：15，分数：30.00)

10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）

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解析：

11.设A是三阶