考研数学三线性代数-试卷41-真题(含答案与解析)-交互.docx

考研数学三（线性代数）-试卷41

(总分64,做题时间90分钟)

1.选择题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.?

设A和B都是n阶矩阵，则必有（）

A?|A+B|=|A|+|B|

B?AB=BA

C?|AB|=|BA|

D?

（A+B）—1=A—1+B—1

????分值:2

答案:C

解析：因为|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|，所以C正确。取B=—A，则|A+B|=0，而|A|+|B|不一定为零，故A错误。由矩阵乘法不满足交换律知，B不正确。因（A+B）（A—1+B—1）≠E，故D也不正确。所以应选C。

2.?

设A是三阶矩阵，其中a11≠0，Aij=aij（i=1，2，3，j=1，2，3），则|2AT|=（）

A?0

B?2

C?4

D?8

????分值:2

答案:D

解析：|2AT|=23|AT|=8|A|，且由已知故A*=AT。又由AA*=AAT=|A|E，两边取行列式，得|AAT|=|A|2=||A|E|=|A|3，即|A|2（|A|—1）=0，又a11≠0，则|A|=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132＞0，故|A|=1，从而|2AT|=8，所以应选D。

3.?

设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，若AB=E，则（）

A?r（A）=m，r（B）=m

B?r（A）=m，r（B）=n

C?r（A）=n，r（B）=m

D?r（A）=n，r（B）=n

????分值:2

答案:A

解析：因为AB=E，所以r（AB）=m。又r（AB）=m≤min{r（A），r（B）}，即r（A）≥m，r（B）≥m，而r（A）≤m，r（B）≤m，所以r（A）=m，r（B）=m。故选A。

4.?

设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）

A?

α1—α2，α2—α3，α3—α1

B?

α1—α2，α2+α3，α3+α1

C?

α1+α2，3α1—5α2，5α1+9α2

D?

α1+α2，2α1+3α2+4α3，α1—α2—2α3

????分值:2

答案:D

解析：通过已知选项可知（α1—α2）+（α2—α3）+（α3—α1）=0，（α1—α2）+（α2+α3）—（α3+α1）=0，因此选项A、B中的向量组均线性相关。对于选项C，可设β1=α1+α2，β2=3α1—5α2，β3=5α1+9α2，即β1，β2，β3三个向量可由α1，α2两个向量线性表示，所以β1，β2，β3必线性相关，即α1+α2，3α1—5α2，5α1+9α2必线性相关。因而用排除法可知应选D。

5.?

设A，B为n阶方阵，P，Q为n阶可逆矩阵，下列命题不正确的是（）

A?若B=AQ，则A的列向量组与B的列向量组等价

B?若B=PA，则A的行向量组与B的行向量组等价

C?若B=PAQ，则A的行（列）向量组与B的行（列）向量组等价

D?若A的行（列）向量组与矩阵B的行（列）向量组等价，则矩阵A与B等价

????分值:2

答案:C

解析：将等式B=AQ中的A、B按列分块，设A=（α1，α2，…，αn），B=（β1，β2，…，βn），则有（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）表明向量组β1，β2，…，βn可由向量组α1，α2，…，αn线性表示。由于Q可逆，从而有A=BQ—1，即（α1，α2，…，αn）=（β1，β2，…，βn）Q—1，表明向量组α1，α2，…，αn可由向量组β1，β2，…，βn线性表示，因此这两个向量组等价，故选项A的命题正确。类似地，对于PA=B，将A与B按行分块可得出A与B的行向量组等价，从而选项B的命题正确。下例可表明选项C的命题不正确。但B的行（列）向量组与A的行（列）向量组不等价。对于选项D，若A的行（列）向量组与B的行（列）向量组等价，则这两个向量组的秩相同，从而矩阵A与B的秩相同，故矩阵A与B等价（两个同型矩阵等价的充分必要条件是秩相等）。

6.?

已知α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，那么向量α1一α2，α1+α