数学分析三试卷及答案.pdf

《数学分析》（三)――参考答案及评分标准

一。计算题（共8题，每题9分，共72分).

1.求函数在点(0，0)处的二次极限与二重极限.

解:,因此二重极限为.……(4分)

因为与均不存在,

故二次极限均不存在。……(9分）

2.设是由方程组所确定的隐函数,其中和分别具有连续的导数和偏导数,

求。

解：对两方程分别关于求偏导：

,

……(4分）

.解此方程组并整理得.……（9分)

3.取为新自变量及为新函数，变换方程

。

设（假设出现的导数皆连续）.

解：看成是的复合函数如下：

。……（4分）

代人原方程，并将变换为.整理得：

。……（9分）

4.要做一个容积为的有盖圆桶，什么样的尺寸才能使用料最省?

解:设圆桶底面半径为,高为,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小

值，其中

目标函数:，

约束条件：。……(3分)

构造Lagrange函数:。

令……（6分)

解得，故有由题意知问题的最小值必存在,当底面半径为高为时，制作圆桶用

料最省。……(9分）

5.设，计算。

解：由含参积分的求导公式

……（5分)

。……(9分)

6.求曲线所围的面积，其中常数.

解：利用坐标变换由于,则图象在第一三象限，从而可以利用对称性，只需求

第一象限内的面积。

。……(3分)

则

……（6分)

……(9分）

.

7.计算曲线积分,其中是圆柱面与平面的交线(为一椭圆）,从轴的正向看去，

是逆时针方向.

解:取平面上由曲线所围的部分作为Stokes公式中的曲面，定向为上侧，则的

《数学分析(三)》参考答案及评分标准第1页共6页

法向量为

。……(3分)

由Stokes公式得

……(6分）

……(9分)

8.计算积分，为椭球的上半部分的下侧.

解：椭球的参数方程为，其中且

。……(3分)

积分方向向下，取负号，因此，

……（6分)

……（9分)

二.证明题(共3题，共28分)。

9。（9分）讨论函数在原点（0，0）处的连续性、可偏导性和可微性.

解:连续性：当时，

，当，

从而函数在原点处连续.……(3分)

可偏导性:,

，

即函数在原点处可偏导。……（5分)

可微性：不存在，

从而函数在原点处不可微。……（9分)

10。（9分）(9分）设满足：

(1）在上连续，

（2）,

（3）当固定时，函数是的严格单减函数。

试证：存在，使得在上通过定义了一个函数，且在上连续。

证明：（i）先证隐函数的存在性。

由条件（3）知，在上是的严格单减函数,而由条件（2）知，从而由函数的连续

性得

，。

现考虑一元连续函数。由于，则必存在使得

，.

同理，则必存在使得

,。

取，则在邻域内同时成立

，。……（3分）

于是，对邻域内的任意一点，都成立

，。

固定此，考虑一元连续函数。由上式和函数关于的连续性可知，存在的零点使得

＝0。

而关于严格单减,从而使＝0的是唯一的.再由的任意性，证明了对内任意一点，

总能从找到唯一确定的与相对应,即存在函数