复变函数阶段练习.docVIP

《复变函数》阶段练习一（第一、二章内容）

填空题：

复数的实部______，虚部______，模_______，辐角_____________.

2.的实部是_______，虚部是________，模为_________，主辐角为_________.

3．的指数形式为__________，三角表示式__________.

4．_____为整数____________.

5．____________.

6.则__________________.

计算下列各题：

1、求下列复数的模和主辐角

（1）

；

（2）

（3）

２．求

解：因

故

３．求的所有根.

解：

４、求下列各函数值

（1）；（2）；（3）

解：（1）

（2）

（３）

５．已知调和函数，求其共轭调和函数及解析函数.

所以

又

比较两式可得：

故，有

因此（C为任意常数）

因而得到解析函数：

６．设为调和函数，求解析函数

解：利用C-R方程，得：

所以

又

比较两式可得：

故

因此（C为任意常数）

因而得到解析函数：

７．已知在复平面上解析，求a,b,c的值.

解：

由C-R条件，，得

所以，当时，在复平面上解析。

8．设为调和函数，求解析函数.

解：，

由C-R条件，有：

，

于是，得

9．已知调和函数，求解析函数

解：利用C-R方程，得：

对y求偏导并利用C-R方程，有

于是，知：，有

因此（C为任意常数）

因而得到解析函数：

《复变函数》阶段练习二（第三、四章内容）

填空题：

1.______0______.

2._____0_____.

3.解析函数的导函数仍为______解析函数______，且_______________________.

４、_______0__________

5.＝______________

6.的收敛半径为____1________.

7.级数的收敛半径为______3_______.

8.在处的Taylor展开式为___________________.

9．在处的Taylor展开式为_______________.

计算题：

1.，其中C为由0到的直线段。

解：C的参数方程为：

计算积分其中，C为连接原点0到的直线段

解：积分路径的参数方程为（），于是，，因此

3．计算积分的值，其中C：.

解：因在上解析，在的区域内，由柯西积分公式得：

4．计算积分

解：

5．计算积分

解：令，则在内解析。由高阶导数公式，得：

6．求下列幂级数的收敛半径

（１）；（２）。

（１），收敛半径为2；

（２），收敛半径为。

7．求下列函数在点处的泰勒展开式

其中，即

8．将函数分别在圆环,,内展开成罗朗级数.

解：(1)

由于，从而，利用

（）

得到：

（）

(2)由于，

所以

(3)由于，

所以

设，求在内的Laurent展开式。

当时，有

《复变函数》阶段练习三（第五、六章内容）

填空题：

1.是的_____3____级极点.

2.为的_____本性_______奇点.

3.____________,

4.的奇点类型为____是三级极点_____,其留数为_________.

５、在处的旋转角为___0____,伸缩率为_____2_____.

６、将角形域映射为______或上半平面__________.

计算题：

求函数在有限奇点处的留数.

解：是的2级极点，是的1级极点

2．求的孤立奇点处的留数，并计算积分

解：分别是的两个一级极点，

原式

求的孤立奇点处的留数，并计算积分

解：有两个孤立奇点，为一级极点，为二级极点，于是

=

计算

解：令，则

原式=

计算

解：令，在实轴上无奇点，且比分子高4次，在上半平面有一个二级极点，故

所以

计算

解：令，在上半平面有一级极点

７．求把上半平面映射成单位圆域的分式线性映射，并满足条件：

(1);

(2);

（１）解由于，因而所求映射具有形式

而

所以

于是所求映射为.

（２）解由于，因而所求映射具有形式

而

所以

于是所求映射为.

８．求把单位圆域映射成单位圆域的分式线性映射，并且满足条件

解：由于将单位圆域映射成单位圆域的分式线性映射为

.

因为，所以.于是有

而.

因此所求