考研数学三(线性方程组与矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷2(题.doc

考研数学三（线性方程组与矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷2(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设三阶矩阵A的特征值为－1，1，2，其对应的特征向量为a1，a2，a3，令P＝(3a2，－a3，2a1)，则P－1AP等于()．

A．

B．

C．

D．

正确答案：C

解析：显然3a1，－a3，2a1也是特征值1，2，－1的特征向量，所以P－1AP＝，选

C．知识模块：矩阵的特征值和特征向量

2．设A，B为n阶矩阵，且A，B的特征值相同，则()．

A．A，B相似于同一个对角矩阵

B．存在正交阵Q，使得QTAQ＝B

C．r(A)＝r(B)

D．以上都不对

正确答案：D

解析：令A＝，B＝显然A，B有相同的特征值，而r(A)≠r(B)，所以A，B，C都不对，选

D．知识模块：矩阵的特征值和特征向量

填空题

3．设A＝，｜A｜＞0且A*的特征值为－1，－2，2，则a11＋a22＋a33＝_____________．

正确答案：－2

解析：因为｜A*｜＝｜A｜2＝4，且｜A｜＞0，所以｜A｜＝2，又AA*＝｜A｜E＝2E，所以A－1＝A*，从而A－1的特征值为－，－1，1，根据逆矩阵之间特征值的倒数关系，得A的特征值为－2，－1，1，于是a11＋a22＋a33＝－2－1＋1＝－2．知识模块：矩阵的特征值和特征向量

4．设三阶矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝－，λ3＝，其对应的特征向量为a1，a2，a3，令P＝(2a3，－3a1，－a2)，则P－1(A－1＋2E)P＝_____________．

正确答案：

解析：P－1(A－1＋2E)P＝P－1A－1P＋2E，而P－1A－1P＝，所以P－1(A－1＋2E)P＝．知识模块：矩阵的特征值和特征向量

5．设λ1，λ2，λ3是三阶矩阵A的三个不同特征值，a1，a2，a3分别是属于特征值λ1，λ2，λ3的特征向量，若a1，A(a1＋a2)，A2(a1＋a2＋a3)线性无关，则λ1，λ2，λ3满足_____________．

正确答案：≠0

解析：令x1a1＋x2A(a1＋a2)＋x3A2(a1＋a2＋a3)＝0，即(x1＋λ1x2＋λ21x3)a1＋(λ2x2＋λ22x3)a2＋λ23x3a3＝0，则有x1＋λ1x2＋λ21x3＝0，λ2x2＋λ22x3＝0，λ23x3＝0，因为x1，x2，x3只能全为零，所以≠0λ2λ3≠0．知识模块：矩阵的特征值和特征向量

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

设A＝相似于对角矩阵．求：

6．a及可逆矩阵P，使得P－1AP＝A，其中A为对角矩阵；

正确答案：｜λE－A｜＝0λ1＝λ2＝1，λ3＝－1．因为A相似于对角阵，所以r(E－A)＝1a＝－2A＝．(E－A)X＝0基础解系为ξ1＝(0，1，0)T，ξ2＝(1，0，1)T，(－E－A)X＝0基础解系为ξ3＝(1，2，－1)T，令P＝(ξ1，ξ2，ξ3)，则P－1AP＝diag(1，1，－1)．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

7．A100．

正确答案：P－1A100P＝A100＝PP－1＝E．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

设A＝，β＝，方程组AX＝β有解但不唯一．

8．求a；

正确答案：因为方程组AX＝β有解但不唯一，所以｜A｜＝0，从而a＝－2或a＝1．当a＝－2时，，r(A)＝r()＝2＜3，方程组有无穷多解；当a＝1时，，r(A)＝1＜r()，方程组无解，故a＝－2．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

9．求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角阵；

正确答案：由｜λE－A｜＝λ(λ＋3)(λ－3)＝0得λ1＝0，λ2＝3，λ3＝－3．由(0E－A)X＝0得λ1＝0对应的线性无关的特征向量为ξ1＝；由(3E－A)X＝0得λ2＝3对应的线性无关的特征向量为ξ2＝；由(－3E－A)X＝0得λ3＝－3对应的线性无关的特征向量为ξ3＝．令P＝，则P－1AP＝．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

10．求正交阵Q，使得QTAQ为对角阵．

正确答案：令γ1＝，γ2＝，γ3＝，取Q＝，则QTAQ＝．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

设矩阵A＝．

11．若A有一个特征值为3，求a；

正确答案：｜λE－A｜＝(λ2－1)[λ2－(a＋2)λ＋2a－1]，把λ＝3代入上式得a＝2，于是A＝，A2＝．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

12．求可逆矩阵P，使得PTA2P为对角矩阵．

正确答案