高中数学：04建立函数模型解决实际问题摸索阶段课后练习.docx

湖南省郭文静高中数学名师工作室

课后练习

课程基本信息

学科

数学

年级

高一

学期

春季

课题

建立函数模型解决实际问题-摸索阶段(数学建模知识讲授)

教科书

书名：普通高中教科书数学必修第一册A版教材

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年7月

学生信息

姓名

学校

班级

学号

课后练习题目

数学建模建立函数模型解决实际问题

数学建模知识讲授

基础巩固

题型一数学建模主要步骤的探究

1[提出问题]在小傅家门口有一个十字型的交通路口(如图所示)，小傅就想了，警察叔叔需要指挥多少种情况的汽车运行线路？

2[提出问题]两根同样长的蜡烛，点完粗蜡烛要3小时，点完细蜡烛要1小时.现同时点燃两根蜡烛.一段时间后同时熄灭，发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的3倍.问两根蜡烛燃烧了多长时间？

能力提升

3[提出问题]李明玩套圈游戏，游戏规则为：套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分，李明共套10次，且每个小玩具都至少被套中一次.已知李明共得61分，求其中小鸡被套中过多少次.

4[提出问题]甲、乙两人去沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可带一个人4天的食物和水.如果允许将部分食物存放于途中，问其中1人最远可深入沙漠多少千米？(要求最后两人返回出发点)

素养达成

题型二数学建模活动主要过程的探究

5关于外卖垃圾问题的分析与解决

[选题]餐饮业作为我国第三产业中一个传统服务性行业，经历了改革开放进步、数量型扩张、规模连锁发展和品牌提升战略4个阶段，取得突飞猛进的发展.为了满足当今社会快速的生活节奏，“外卖”这一餐饮方式便应运而生.“外卖”这个词是舶来品，原意是离店销售.目前，无论是地处繁华地带的市中心，还是相对冷清的城郊地区，原先并不涉足外卖的餐馆都经营了外卖快餐.外卖有好有坏，它既方便了我们的生活，但同时也制造了大量的垃圾，这些垃圾造成了生态环境的破坏，海洋动物的死亡，也已经威胁到了我们的生活.本文就此问题，展开对外卖垃圾该如何处理的分析与讨论.

6牙膏价格与重量关系的数学建模

[选题]在超市购物时，我们注意到大包装商品比小包装商品便宜，比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.00元.我们可以通过单位商品价格关于商品重量的函数来分析大包装便宜还是小包装便宜.

课后练习答案

题型一数学建模主要步骤的探究

1[建立模型]此问题需要分是否可以原路调头的情况来讨论.

(1)每条线路都有往返双向线；

(2)设4条路分别为A，B，C，D；

(3)以A为起始，

①如允许原路调头，则有A→A，A→B，A→C，A→D，

②如不允许原路调头，则有A→B，A→C，A→D.

[求解模型]第一步：始线路条数；第二步：终线路条数.

①如允许原路调头：则N＝4×4＝16(种)可能；

②如不允许原路调头：则N＝4×3＝12(种)可能.

[检验结果]如果允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有16种不同的行车情况，如果不允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有12种不同的行车情况.

2[建立模型]①设两根蜡烛的长度为l厘米，粗、细蜡烛的燃烧速度分别为x、y(厘米/小时)，则有y＝l＝3x；

②点燃两根蜡烛一段时间后同时熄灭，剩余粗、细蜡烛的长度分别为R、r，则R＝3r.

[求解模型]根据条件有：eq\f(l－r,y)＝eq\f(l－3r,x)(燃烧时间相同)

化简为l＝4r，即细蜡烛燃烧后的长度是原来长度的eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(也即燃烧了\f(3,4)))，

所以燃烧的时间为eq\f(\f(3,4)l,y)＝eq\f(\f(3,4)l,l)＝eq\f(3,4)(小时).

[检验结果]为了明确各量之间的相互关系，在必要的地方可以加注.

能力提升

3[建立模型]

①设每次不可能同时套中2个及2个以上的玩具；

②为了保证“每个小玩具都至少被套中一次”，可设小鸡、小猴、小狗分别被套中x，y，z次，x，y，z∈N＋，然后解不定方程组.

[求解模型]由条件得不定方程组

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝10，①,9x＋5y＋2z＝61，②))

②－2×①消去z得7x＋3y＝41.

正整数解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝9))(不合方程①)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝2))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝2，,z＝3，))

[检验结果]验证得小鸡、小猴、小狗分别被套中5、2、3次，总共得分61分.

4[建立模型]要使其中一位探险者尽可能走得