山东省临沂市2023-2024学年高三上学期开学摸底联考数学试题【含答案】.docx

2024届高三开学摸底联考

数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

考试时间为120分钟，满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数函数与根式的范围求解，再求交集即可.

【详解】，，故.

故选：B

2.已知，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数相等的概念可解得，代入计算可得结果.

【详解】设，则，

所以，解得，可知；

所以.

故选：A

3.已知，，若，则该展开式各项的二项式系数和为（）

A.81 B.64 C.27 D.32

【答案】D

【解析】

【分析】根据二项式定理求出，，根据求出n的值，从而可求解.

【详解】，，

∴，解得，

∴该展开式各项的二项式系数和为.

故选：D

4.已知双曲线的一条渐近线斜率为，实轴长为4，则C的标准方程为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据双曲线的基本量关系，结合渐近线方程求解即可.

【详解】由题意双曲线的焦点在轴上，则，，

又，则，故C的标准方程为.

故选：C

5.设,则的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】对函数进行化简,转化为二次函数在定区间上的最值问题求解即可.

【详解】

,

令,则原函数转化为

,

则函数在上为增函数,在上为减函数,

又,

所以函数的最小值为,

即的最小值为.

故选:C.

6.一个不透明的袋子中装有3个黑球，n个白球，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设X为取出白球的个数，则（）

A. B. C.1 D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根据取出2个黑球，1个白球的概率为求出n的值，再求出X的分布列，根据数学期望的定义即可计算.

【详解】由题可知，，解得，

X的可能取值为，

，，，，

∴.

故选：A

7.已知为函数的两个不同的极值点，若，则a的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】求导，由题意为一元二次方程的两个不同实数根，再根据韦达定理化简求解即可.

【详解】，令，由题意为一元二次方程的两个不同实数根，则，.

所以

，

又，所以，解得.

此时中，符合题意，故.

故选：A

8.如图，P、Q是直线上的点，平面，五面体的各顶点均在球O球面上，四边形为边长为2的正方形，且，均为正三角形，则当球O半径取得最小值时，五面体的体积为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】设E，F分别为，的中点，为等边的中心，当球心与正方形中心重合时，球半径取得最小值，此时，过、分别作平面的垂面，交直线于R，S两点，则五面体的体积为，求解即可.

【详解】设E，F分别为，的中点，为等边的中心，

当球心与正方形中心重合时，球半径取得最小值，此时，

因为，所以，即，

如图，过、分别作平面的垂面，交直线于R，S两点，

由题意可知，直线在平面内的投影为直线，

所以四边形是矩形.

则，，

所以五面体的体积为.

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数的部分图象如图所示，则（）

A.的最小正周期为

B.

C.的图象关于直线对称

D.将的图象向右平移个单位长度得到的函数图象关于y轴对称

【答案】AC

【解析】

【分析】根据函数的图象，求得函数的解析式为，结合三角函数的性质，逐项判定，即可求解.

【详解】由函数的图象，可得，

所以，可得，所以，

因为，所以，

即，可得，即，

因为，可得，所以，

所以A正确，B不正确；

由，所以是函数的图象的对称轴，所以C正确；

将的图象向右平移个单位长度，

可得，

此时函数的图象关于原点对称，不关于轴对称，所以D错误.

故选：AC.

10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且的最大值为3，最小值为1，则（）

A.椭圆C的圆心率为

B.的周长为4

C.若，则面积为3

D.若，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】对