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期中模拟考试之函数的概念和性质
一、单选题(共12题,每题5分,总分60分)
1.下列函数既是偶函数又在上单调递减的是()
A. B. C. D.
【详解】解析:A项,B项均为定义域上的奇函数,排除;
D项为定义域上的偶函数,在单调递增,排除;
C项为定义域上的偶函数,且在上单调递减.故选:C.
2.函数的定义域为()
A. B. C. D.
【详解】由题意得,解得且,故选:D
3.函数在上是减函数,且为实数,则有()
A. B.
C. D.
【详解】当时,ABD中不等式左右两侧均为,不等式不成立,ABD错误;
对于恒成立,即恒成立,又为上的减函数,
,C正确.故选:C.
4.若函数在上单调递增,且,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
【详解】在上单调递增,,,解得:,
实数的取值范围为.故选:C.
5.函数在区间上单调递增,则的取值范围是()
A. B.
C. D.
【详解】解:函数的图像的对称轴为,
因为函数在区间上单调递增,
所以,解得,所以的取值范围为,故选:D
6.函数在单调递减,且为奇函数.若,则满足的的取值范围是(D)
A. B. C. D.
7.若偶函数在区间上是增函数,则(D)
A. B.
C. D.
8.下列各组函数表示的是同一个函数的是(BD)
A.与B.与
C.与D.与
非选择题
二、填空题(共4题,每题5分,总分20分)
1.已知函数,,则此函数的值域是____.
【详解】因为函数在区间上为减函数,当时,,即.
因此,函数,的值域为.
2.设定义在上的奇函数在上为增函数,且,则不等式的解集为__________.
3.设奇函数在上为增函数,且,则不等式的解集为________.
4.已知偶函数在上是减函数,且,则的解集__________
【详解】因为是偶函数,且,所以,
又在上是减函数,所以在上是增函数,
①当时,由得,又由于在上为减函数,且,所以,得;
②当时,由得,又,在上是增函数,所以,所以.综上,原不等式的解集为:.
三、解答题(共6题,总分70分)
1.已知函数.(10分)
(1)求函数的定义域;
(2)求的值;
【详解】解:(1)由题意可得,解不等式可得,且
(2).
2.已知函数.(12分)
(1)求函数的定义域;
(2)求的值;
(3)当时,求,的值.
(1)由题意,解得且,函数的定义域为且.
(2).
(3),.
3.已知函数,且
(1)判断的奇偶性,并证明;
(2)判断在上的单调性,并证明;
解:∵,且∴,解得
(1)为奇函数,
证明:∵,定义域为,关于原点对称
又所以为奇函数
(2)在上的单调递增
证明:设,则.
∵,∴,
故,即,在上的单调递增
4.已知函数.(12分)
(1)判断在区间上的单调性,并用定义证明;
(2)判断的奇偶性,并求在区间上的值域.
【详解】(1)证明如下:,,且,有因为,,且,所以,.
于是,即.故在区间上单调递增.
(2)的定义域为.
因为,所以为奇函数.
由(1)得在区间上单调递增,
结合奇偶性可得在区间上单调递增.
又因为,,所以在区间上的值域为.
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