高中数学：1《离散型随机变量的方差》教学设计 (1).docx

人教A版新教材选择性必修第三册

教学设计

课程基本信息

学科

高中数学

年级

高二

学期

春季

课题

7.3.2离散型随机变量的方差（第一课时）

教科书

书名：普通高中数学教材

出版社：人民教育出版社出版日期：2023年3月

教学内容分析

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》第67-70页的第七章7.3.2离散型随机变量的方差。

本单元内容主要包括随机变量的均值和方差。本节课是前面学习完随机变量分布列的基础上进行研究的，知识上具有承前启后的作用。随机变量的均值和方差是概率论和数理统计的重要概念，节课是从实际出发，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程。

教学目标分析

通过实例，让学生了解随机变量的均值只能反映取值的集中程度，不能反映随机变量取值的离散程度，体会引入离散型随机变量的方差的必要性。理解离散型随机变量方差的概念，了解其实际含义。并会计算简单的离散型随机变量的均值和方差，并利用均值与方差在实际问题中得出科学的决策。通过两个例子计算离散型随机变量的方差，体会引入离散型随机变量的均值和方差的必要性。体会它在实际生产生活中的应用价值。

学生学情分析（含教学重难点分析）

重点：理解离散型随机变量的方差、标准差的概念及其求解。

难点：比较两个随机变量的均值与方差的大小，利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题。

教学方法和策略分析

教学方法：讲授法、讨论法、自学展示

教学策略：启发式教学策略

教学手段

现代多媒体教学

教学过程

环节一：探索方差如何定量离散型随机变量取值的离散程度

随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”.因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小.所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征.

问题1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示：如何评价这两名同学的射击水平？

表1

X

6

7

8

9

10

P

0.09

0.24

0.32

0.28

0.07

表2

Y

6

7

8

9

10

P

0.07

0.22

0.38

0.3

0.03

E(X)=8;E(Y)=8因为两个均值相等，所以均值不能区分这两名同学的射击水平。射击水平除了要考虑击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度，图一和图二分别是X和Y的概率分布图：

图一图二

发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的设计成绩更稳定。

通过知识回顾，提出问题.通过具体的问题情境，引发学生思考积极参与互动，说出自己见解。从而引入离散型随机变量分布列方差的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。

2.环节二：怎样定量到离散型随机变量取值的离散程度?

我们知道，样本方差可以度量一组样本数据X1，X

S

样本方差反应了这组数据的波动情况.随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢？

设离散型随机变量X的分布列如下：

X

x

x

…

x

P

p

p

…

p

因为X取每个值的概率不尽相同，而偏差平方关于取值概率的加权平均为x

[师生互动]

师：因材施教，根据学生预习的结果，引导下一步教学发挥学生的主观能动性，暴露学生思维，教师精准指导,从而建立方差的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养.

3.环节三：得出离散型随机变量方差的概念

一般地，若离散型随机变量X的概率分布列为：

X

x1

x2

…

xn

P

p1

p2

…

pn

则称

D

=

为随机变量X的方差，称σ(X)=

师：随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与分散的程度.那是方差越大越稳定吗？

生：加深学方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.

4.环节四：课堂练习

例1:已知随机变量X的分布列如下

X

0

1

2

3

4

P

0.1

0.2

0.4

0.2

0.1

求D(X)

解：E

D

例2投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示：

表1股票A收益的分布列表2股票B收益的分布列

(1）投资哪种股票的期望收益大？

解：股票A和股票B投资收益的期望分别为

因为EXEY

（2）投资哪种股票的风险高？

解：股票A和股票B投资收益的方差分别为

DX

DY

因为EX和EY相差不大,且DX

【设计意图】通过典例