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湖南省中小学课程资源
教学设计
课程基本信息
学科
高中数学
年级
高二
学期
秋季
课题
《直线的一般式》
教科书
书名:普通高中数学教材
出版社:人民教育出版社出版日期:2020年7月
教学目标
1.掌握直线的一般式方程,并理解直线一般式的推导过程;
2.理解关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)都表示直线.;
3.掌握直线方程的五种形式之间的转化。
教学内容
本节课内容选自普通高中数学教材人教A版数学选择性必修第一册第二章第二节《直线的一般式》,共1个课时,《直线的一般式》是本节直线的方程的重要组成部分同时也是对直线点斜式、斜截式、两点式和截距式的总结提升与再运用。
通过本节课的学习,培养学生的逻辑推理能力与归纳总结能力,特别是直线方程本节是高中阶段数形结合的重要组成部分,是解析几何的重要组成部分。在学习的过程中蕴含着数学抽象、逻辑推理、数学运算和数形结合的重要数学核心素养。
1.教学重点:
(1)掌握直线的一般式方程。
(2)理解关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)都表示直线。
2.教学难点:
(1)掌握直线方程的五种形式之间的转化;
(2)理解关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)都表示所有直线。
学生学情
直线与方程式解析几何的重要做成部分同时也是学生开启数形结合思想的重要篇章,在初中已经学习过的直角坐标系中进行更为深入的研究,从函数在坐标轴上的表示再到图形在坐标轴的的表示实质上是有原来的函数在坐标系中表示为图像(数到形的表示)进而研究到(形到数的表示)。对学生完善数形结合的思想有着非常重要的一步。由于课程前面已经对直线的方程有了初步的认识,本节最为重要的便是引导学生对其原有的四种表达形式进行归纳与总结再研究。
教学过程
引导语:回顾一下前边学过的直线方程的各种不同的形式,并指出局限性.
复习导入(一)
通过复习已经学习过的直线的四种表达形式引入,
表1
思考1:上述四种直线方程的表示形式都有其局限性,是否存在一种更完美的代数形式可以表示平面中的所有直线?
思考2:观察上述四种形式的直线方程有何共同特征能否整理成统一形式?
师生活动:先由学生尝试自主完成上面的问题,要求学生对直线形式进行整理教师引导向二元一次方程靠拢。
分析:上述四式都可以写成二元一次方程的形式:
Ax+By+C=0,A、B不同时为0.
对于思考2,平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示吗?
追问:坐标轴上的每一条直线都可以用二元一次方程来表示吗?
师生活动:教师引导学生思考、交流、讨论总结。
设计意图:通过学生自己的探究感受直线方程的变化,同时通过学生自己的推导更加直观的感受到直线方程五种表达式之间的相互推理过程和变形过程,更加有利于学生掌握直线方程的五种形式之间的转化。
总结:通过分类讨论直线斜率存在与不存在最终总结得到二元一次方程可以表达坐标轴上任意一条直线
思考3:每一个关于x,y的二元一次方程都可以表示直线吗?
师生活动:对于任意一个二元一次方程Ax+By+C=0(A.B不同时为0),判断它是否表示一条直线?,判断问题是依托原有已经学习过的直线的四种形式通过变形,然后教师引导学生进行分类讨论和总结。
分析:
结论2:关于x,y的二元一次方程,它都表示一条直线。
总结概念
从上面两个推论过程,我们知道:
直线一般式的相关结论
探究:在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,方程表示下列直线
平行于x轴:
(2)平行于y轴:
(3)与X轴重合:
(4)与Y轴重合:
通过Ax+By+C=0化为截距式进行分析得出结论。
应用新知(条件概率、乘法公式的应用)
例1已知直线经过点A(6,4),斜率为-43
师生活动:由学生独立完成。在学生完成本例题的解答以后,教师给出完整的解题过程。
强调:通过以上的例题解答,对于直线方程的一般式,规定:
1)x的系数为正;
2)x,y的系数及常数项一般不出现分数;
3)按含x项,含y项、常数项顺序排列.
设计意图:通过主动去求直线的斜截式与一般式发现其中的联系与区别。
例2把直线x-2y+6=0的一般式方程化成斜截式,求出直线的斜率和它在X轴与Y轴上的截距,并画出图形
解:将原方程移项,两边除以2,得斜截式
直线的斜率,它在y轴上的截距是3,
令y=0时,可得x=-6,即直线在x轴上的截距是-6.
令y=0时,可得x=-6,即直线在x轴上的截距是-6.
例3、设直线的方程为(a
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