高中数学:1《计数原理小结》教学设计.docx

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湖南省张旭艳高中数学名师网络工作室

湖南省张旭艳名师工作室出品执笔人:刘娟株洲长鸿高级中学;审稿人:尹艳清株洲长鸿高级中学。

教学设计

课程基本信息

学科

数学

年级

高二

学期

秋季

课题

计数原理小结

教科书

书名:选择性必修第三册教材

出版社:人民教育出版社出版日期:2020年5月

教学目标

1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理,能结合具体问题的特征,合理选择两个计数原理来分析和解决一些简单的实际问题。

2.掌握排列组合的概念并会灵活运用。

3.掌握二项式定理的内容并会熟练运用解题。

教学内容

教学重点:

1.两种计数原理的综合运用。

2.二项式定理的综合运用。

教学难点:

1.“分类讨论”思想在计数原理中的应用。

2.“正难则反”思想在计数原理中的应用。

教学过程

一、知识回顾

1.1、两个计数原理

2、排列和组合

3、二项式定理

二、要点探究

要点一排列与组合的应用

例1:某种产品的加工需要经过5道工序.

(1)如果其中某道工序不能放在最后,有多少种加工顺序?

(2)如果其中某2道工序必须相邻,有多少种加工顺序?

(3)如果其中某2道工序不能相邻,有多少种加工顺序?

解:(1)要完成这件事要分为2步.

第1步,“某道工序”是特殊元素,有C4

第2步,其它4道工序进行全排列,有A4

由分步计数原理可知,有C4

2)∵某2道工序必须相邻∴把某2道工序看作一个元素

则有4个元素进行全排列,还有2道工序内部的全排列,共有A4

(3)某2道工序不能相邻∴应用插空法

首先对其它3道工序进行全排列,形成4个空,再排某2道工序,共有A3

要点二二项式定理的应用

例2:求(1+x+x2)(1?x)10的展开式中x4的系数.

解:C10

要点三“分类讨论”思想

例3:从1,2,3,4,5,6这6个数字中,任取3个数字组成无重复数字的三位数,其中若有1和3时,3必须排在1的前面;若只有1和3中的一个时,它应排在其他数字的前面,这样不同的三位数共有________个(用数字作答).

解:1与3是特殊元素,以此为分类标准进行分类.

①没有数字1和3时,有A4

②只有数字1或3时,有C2

③有数字1和3时,把3排在1的前面,1和3全排列,剩下的4个数字里选择1个插空,即C4

所以满足条件的3位数有A43+C2

要点四“正难则反”思想

例4:以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数有多少个?

分析:正面考虑,需分类且容易出现遗漏或重复,从反面考虑4个点共面的情况的种数,问题则较易解决.

解:正方体共8个顶点,构成三棱锥要4个顶点,共C8

显然,正方体4个面和对角面也是由4个顶点构成

故不符合题意的有8种情况,C8

三、课堂小结

四、课后作业

1.7名师生站成一排照相留念,其中老师1人,男生4人,女生2人,在下列情况下,各有不同站法多少种?

(1)两个女生必须相邻而站;

(1)4名男生互不相邻;

老师不站中间,女生甲不站左端.

解:(1)∵两个女生必须相邻而站,∴把两个女生看作一个元素.

则共有6个元素进行全排列,还有女生内部的一个排列共有A66A

(2)∵4名男生互不相邻,∴应用插空法.

对老师和女生先排列,形成四个空再排男生共有A3

(3)当老师站左端时,其余六个位置可以进行全排列共有A6

当老师不站左端时,老师有5种站法,女生甲有5种站法,余下的5个人在五个位置进行排列,共有A5

根据分类加法计数原理知共有720+3000=3720种站法

2.(1+x)4+(1+x)5+…+(1+x)9的展开式中x3项的系数为______.

原式=Ceq\o\al(3,4)+Ceq\o\al(3,5)+Ceq\o\al(3,6)+Ceq\o\al(3,7)+Ceq\o\al(3,8)+Ceq\o\al(3,9)

=Ceq\o\al(4,4)+Ceq\o\al(3,4)+Ceq\o\al(3,5)+Ceq\o\al(3,6)+Ceq\o\al(3,7)+Ceq\o\al(3,8)+Ceq\o\al(3,9)-1

=Ceq\o\al(4,10)-1=209.

3.用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方框进行涂色,若要求每个小方格,涂一种颜色,且涂成红色的方格数为偶数,则不同的涂色方案种数是_____种.

解:因为涂成红色的方格数为偶数,即涂成红色的方格数为0或2,

3个格涂一种颜色有2种(全黄或全蓝)

3个格涂2颜色且涂0个红色时,C2

3个格涂2颜色且涂2个红色时,C2

根据分类加法计数原理,可得共有2+6+6=14(种).

4.若把英语单词“good”的字母顺序写错了,则可能出现的错误方法共有_____种.

解:把g、o、o、d

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