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湖南省张旭艳高中数学名师网络工作室
湖南省张旭艳名师工作室出品执笔人:刘娟株洲长鸿高级中学;审稿人:尹艳清株洲长鸿高级中学。
教学设计
课程基本信息
学科
数学
年级
高二
学期
秋季
课题
计数原理小结
教科书
书名:选择性必修第三册教材
出版社:人民教育出版社出版日期:2020年5月
教学目标
1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理,能结合具体问题的特征,合理选择两个计数原理来分析和解决一些简单的实际问题。
2.掌握排列组合的概念并会灵活运用。
3.掌握二项式定理的内容并会熟练运用解题。
教学内容
教学重点:
1.两种计数原理的综合运用。
2.二项式定理的综合运用。
教学难点:
1.“分类讨论”思想在计数原理中的应用。
2.“正难则反”思想在计数原理中的应用。
教学过程
一、知识回顾
1.1、两个计数原理
2、排列和组合
3、二项式定理
二、要点探究
要点一排列与组合的应用
例1:某种产品的加工需要经过5道工序.
(1)如果其中某道工序不能放在最后,有多少种加工顺序?
(2)如果其中某2道工序必须相邻,有多少种加工顺序?
(3)如果其中某2道工序不能相邻,有多少种加工顺序?
解:(1)要完成这件事要分为2步.
第1步,“某道工序”是特殊元素,有C4
第2步,其它4道工序进行全排列,有A4
由分步计数原理可知,有C4
2)∵某2道工序必须相邻∴把某2道工序看作一个元素
则有4个元素进行全排列,还有2道工序内部的全排列,共有A4
(3)某2道工序不能相邻∴应用插空法
首先对其它3道工序进行全排列,形成4个空,再排某2道工序,共有A3
要点二二项式定理的应用
例2:求(1+x+x2)(1?x)10的展开式中x4的系数.
解:C10
要点三“分类讨论”思想
例3:从1,2,3,4,5,6这6个数字中,任取3个数字组成无重复数字的三位数,其中若有1和3时,3必须排在1的前面;若只有1和3中的一个时,它应排在其他数字的前面,这样不同的三位数共有________个(用数字作答).
解:1与3是特殊元素,以此为分类标准进行分类.
①没有数字1和3时,有A4
②只有数字1或3时,有C2
③有数字1和3时,把3排在1的前面,1和3全排列,剩下的4个数字里选择1个插空,即C4
所以满足条件的3位数有A43+C2
要点四“正难则反”思想
例4:以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数有多少个?
分析:正面考虑,需分类且容易出现遗漏或重复,从反面考虑4个点共面的情况的种数,问题则较易解决.
解:正方体共8个顶点,构成三棱锥要4个顶点,共C8
显然,正方体4个面和对角面也是由4个顶点构成
故不符合题意的有8种情况,C8
三、课堂小结
四、课后作业
1.7名师生站成一排照相留念,其中老师1人,男生4人,女生2人,在下列情况下,各有不同站法多少种?
(1)两个女生必须相邻而站;
(1)4名男生互不相邻;
老师不站中间,女生甲不站左端.
解:(1)∵两个女生必须相邻而站,∴把两个女生看作一个元素.
则共有6个元素进行全排列,还有女生内部的一个排列共有A66A
(2)∵4名男生互不相邻,∴应用插空法.
对老师和女生先排列,形成四个空再排男生共有A3
(3)当老师站左端时,其余六个位置可以进行全排列共有A6
当老师不站左端时,老师有5种站法,女生甲有5种站法,余下的5个人在五个位置进行排列,共有A5
根据分类加法计数原理知共有720+3000=3720种站法
2.(1+x)4+(1+x)5+…+(1+x)9的展开式中x3项的系数为______.
原式=Ceq\o\al(3,4)+Ceq\o\al(3,5)+Ceq\o\al(3,6)+Ceq\o\al(3,7)+Ceq\o\al(3,8)+Ceq\o\al(3,9)
=Ceq\o\al(4,4)+Ceq\o\al(3,4)+Ceq\o\al(3,5)+Ceq\o\al(3,6)+Ceq\o\al(3,7)+Ceq\o\al(3,8)+Ceq\o\al(3,9)-1
=Ceq\o\al(4,10)-1=209.
3.用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方框进行涂色,若要求每个小方格,涂一种颜色,且涂成红色的方格数为偶数,则不同的涂色方案种数是_____种.
解:因为涂成红色的方格数为偶数,即涂成红色的方格数为0或2,
3个格涂一种颜色有2种(全黄或全蓝)
3个格涂2颜色且涂0个红色时,C2
3个格涂2颜色且涂2个红色时,C2
根据分类加法计数原理,可得共有2+6+6=14(种).
4.若把英语单词“good”的字母顺序写错了,则可能出现的错误方法共有_____种.
解:把g、o、o、d
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