高中数学：1《计数原理小结》教学设计.docx

湖南省张旭艳高中数学名师网络工作室

湖南省张旭艳名师工作室出品执笔人：刘娟株洲长鸿高级中学；审稿人：尹艳清株洲长鸿高级中学。

教学设计

课程基本信息

学科

数学

年级

高二

学期

秋季

课题

计数原理小结

教科书

书名：选择性必修第三册教材

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月

教学目标

1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能结合具体问题的特征，合理选择两个计数原理来分析和解决一些简单的实际问题。

2.掌握排列组合的概念并会灵活运用。

3.掌握二项式定理的内容并会熟练运用解题。

教学内容

教学重点：

1.两种计数原理的综合运用。

2.二项式定理的综合运用。

教学难点：

1.“分类讨论”思想在计数原理中的应用。

2.“正难则反”思想在计数原理中的应用。

教学过程

一、知识回顾

1.1、两个计数原理

2、排列和组合

3、二项式定理

二、要点探究

要点一排列与组合的应用

例1：某种产品的加工需要经过5道工序.

（1）如果其中某道工序不能放在最后，有多少种加工顺序？

（2）如果其中某2道工序必须相邻，有多少种加工顺序？

（3）如果其中某2道工序不能相邻，有多少种加工顺序？

解：（1）要完成这件事要分为2步.

第1步，“某道工序”是特殊元素，有C4

第2步，其它4道工序进行全排列，有A4

由分步计数原理可知，有C4

2）∵某2道工序必须相邻∴把某2道工序看作一个元素

则有4个元素进行全排列，还有2道工序内部的全排列，共有A4

（3）某2道工序不能相邻∴应用插空法

首先对其它3道工序进行全排列，形成4个空，再排某2道工序，共有A3

要点二二项式定理的应用

例2：求（1+x+x2）（1?x）10的展开式中x4的系数.

解：C10

要点三“分类讨论”思想

例3：从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有________个(用数字作答).

解：1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类.

①没有数字1和3时，有A4

②只有数字1或3时，有C2

③有数字1和3时，把3排在1的前面，1和3全排列，剩下的4个数字里选择1个插空，即C4

所以满足条件的3位数有A43+C2

要点四“正难则反”思想

例4：以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数有多少个？

分析：正面考虑，需分类且容易出现遗漏或重复，从反面考虑4个点共面的情况的种数，问题则较易解决.

解：正方体共8个顶点，构成三棱锥要4个顶点，共C8

显然，正方体4个面和对角面也是由4个顶点构成

故不符合题意的有8种情况，C8

三、课堂小结

四、课后作业

1.7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？

（1）两个女生必须相邻而站；

（1）4名男生互不相邻；

老师不站中间，女生甲不站左端．

解:(1)∵两个女生必须相邻而站，∴把两个女生看作一个元素.

则共有6个元素进行全排列，还有女生内部的一个排列共有A66A

(2)∵4名男生互不相邻，∴应用插空法.

对老师和女生先排列，形成四个空再排男生共有A3

(3)当老师站左端时，其余六个位置可以进行全排列共有A6

当老师不站左端时，老师有5种站法，女生甲有5种站法，余下的5个人在五个位置进行排列，共有A5

根据分类加法计数原理知共有720＋3000＝3720种站法

2.(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)9的展开式中x3项的系数为______.

原式=Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(3,9)

＝Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(3,9)－1

＝Ceq\o\al(4,10)－1＝209.

3.用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方框进行涂色，若要求每个小方格，涂一种颜色，且涂成红色的方格数为偶数，则不同的涂色方案种数是_____种.

解：因为涂成红色的方格数为偶数，即涂成红色的方格数为0或2，

3个格涂一种颜色有2种(全黄或全蓝)

3个格涂2颜色且涂0个红色时，C2

3个格涂2颜色且涂2个红色时，C2

根据分类加法计数原理，可得共有2＋6＋6＝14(种).

4.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有_____种．

解:把g、o、o、d