高中数学：2《2-3-3点到直线的距离公式》教学设计.docx

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教学设计

课程基本信息

学科

高中数学

年级

高二

学期

秋季

课题

《2.3.3点到直线的距离公式》

教科书

书名：普通高中教科书人教A版数学选择性必修第一册

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月

教学目标

1.用标法推导点到直线的距离公式的代数运算过程，掌握公式，发展数学运算与逻辑推理素养.

2.经历用向量法推导点到直线的距离公式的推导过程，掌握用向量法推导的分析过程，体会向量法与坐标法的差异，能比较两种方法的不同特点。

核心素养

1.数学抽象：点到直线的距离公式；

2.逻辑推理：点到直线的距离公式的推导；

3.数学运算：点到直线的距离公式的推导和应用；

4.直观想象：几何中的距离问题。

教学重、难点

1.教学重点：

点到直线的距离公式的推导思路分析及推导。

教学难点：

点到直线的距离公式的坐标法和向量法的推导。

教学过程

情境引入：据预测，台风中心位于我市的正东方向200km的海平面上，以一定的速度向西北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，半径为100km，问：未来我市会受到台风的影响吗？

图1

自主探究，用坐标法推导点到直线的距离公式

问题1：如图2，在平面直角坐标系中，已知点,直线l:Ax+By+C=0，你能求出点P到直线l的距离吗?

图2

师生活动:教师引导学生观察图形，并结合图形从距离的定义出发建立求解步骤。点P到直线l的距离就是从点P向直线l所作垂线段PQ的长度(Q为垂足)。学生讨论分析后讲出思路------求垂足Q的坐标，利用两点间距离公式求|PQ|，然后师生共同完成以下过程，得出点到直线的距离公式：

求得垂线PQ的方程为：y?y0=BA

联立方程组Ax+By+C=0Bx?Ay=Bx0

代入|PQ|=(x?x

设计意图：这个推导过程是坐标法的直接体现，思路自然，但运算化简过程稍显繁杂。师生

一起做一方面可以给学生起到示范作用，另一方面而可以让学生掌握这种运算.运算需要训练和积累。

尝试向量方法，培养创新意识

问题2：通过刚才的运算，我们发现把点线距离转化为两点间的距离思路顺畅，但是计算繁琐。我们知道向量是解决距离和夹角问题的有力工具，怎样用向量投影的办法求点到直线的距离?

图3

师生活动：如图3，教师引导学生得到PQ=PQ

设计意图：在直接推导完成后引导学生反思引起复杂运算的原因，一方面培养他们反思习惯与反思能力，善于发现问题并研究缘由；另一方面为寻找简化方法作铺垫，对推导过程的反思与观察需要教师作恰当的引导，针对原有问题需要回避什么，如何回避。这种设计意在培养学生思考分析问题的基本路径，提升运算能力，体会整体代换思想。

师生活动:学生容易写出直线l:Ax+By+C=0(AB≠0)的斜率为?AB，所以

由向量的数量积运算可求得与直线l垂直的一个单位向量n=1A

在直线l上任取点M(x，y)，可得向量

(3)PQ=

设计意图：利用向量投影，通过向量运算求得点到直线的距离公式，简化了运算过程.学生通过对比公式推导的不同方法可以体会向量法的优点，提高运用向量研究解决几何中距离问题的意识与能力.

巩固应用，解决问题

例1：求点P(-1,2)到直线l：3x=2距离

师生活动：教师引导学生先把直线的方程写成一般式，然后运用点到直线的距离公式求解，这是公式的直接应用.进一步，可引导学生通过画面图或对直线方程的观察，发现方程表示的直线很特殊，可以直接运用横坐标差的绝对值求解.

例：如图4，已知△ABC的三个顶点分别是A(1,3)，B（3,1），C(-1,0)，求△ABC的面积.

师生活动：教师在黑板上画出示意图，由学生说出解决方案——利用点到直线的距离公式求出边AB的长和边AB上的高，并由学生自主完成计算过程.

设计意图:例1和例2的难度都不大，由学生自主思考分析并通过运算解决，培养独立思考独立分析解决问题的能力，熟练运用点到直线的距离公式.通过练习，提醒学生在解决问题时，要根据题目的条件，灵活选用不同的方法.

课堂小结，解决实际问题

问题4：回顾本节课所学知识与学习过程，你能对本节课的研究内容与结论，不同的研究思路与研究方法作个梳理吗?

师生活动:先由学生对研究对象与结论，以及研究思路作梳理，并由部分学生进行汇报，其他同学对不同的究方法的特点进行补充.

设计意图:帮助学生理解推导点到直线的距离公式时不同思路、不同方法的差异，体会不同推导方法蕴含的思想.

实际应用

据预测，台风中心位于我市的正东方向200km的海平面上，以一定的速度向西北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，半径为100km，问：未来我市会受到台风的影响