高中数学：2《2-5-2圆与圆的位置关系》教学设计.docx

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教学设计

课程基本信息

学科

高中数学

年级

高二

学期

秋季

课题

2.5.2圆与圆的位置关系

教科书

书名：普通高中数学人教A版教材

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月

教学目标

1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.，培养学生数学抽象的学科核心素养；

2.能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系.，培养学生逻辑推理和数学运算的学科核心素养；

3.圆与圆的位置关系的应用，培养学生数学建模的学科核心素养；

教学内容

1.教学重点：圆与圆的位置关系及判定方法

2.教学难点：圆与圆的位置关系的应用

学生学情

学生在初中的几何学习中已经接触过圆与圆的位置关系，上节已经学习了直线与圆的位置关系，因此本节课是对已学内容的深化何延伸；另一方面，本节课对于后面学习直线与圆锥曲线的位置关系等内容又是一个铺垫，具有承上启下的地位。坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一。

教学过程

情景导入

动画演示两个圆相互靠近的过程：

师生活动：回顾直线与圆之间存在以下哪几种位置关系？现在我们类比直线与圆位置关系的研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系．

设计意图：通过具体的情景，帮助学生直观分析圆与圆的位置关系，为后面判断两圆位置关系做准备。

新知探究

思考1：两个圆之间存在哪几种位置关系？

思考2：如何判断两个圆的这些位置关系呢？

师生活动：类比直线与圆的位置关系及判断方法先由学生尝试自己总结两个圆的位置关系。

圆与圆的位置关系

平面上圆与圆的位置关系按公共点个数有三种：

（1）两圆相交：有两个公共点；

（2）两圆相切：包括外切、内切，只有一个公共点，

（3）两圆相离：包括外离、内含，没有公共点。

二、圆与圆的位置关系的判定方法

1.几何法:

圆,圆,

两圆的圆心距,则有

位置

关系

外离

外切

相交

内切

内含

图

示

与的关系

2.代数法:

圆；

圆,

两圆的方程联立得方程组,则有

方程组解的情况

2组

1组

0组

两圆的公共点

2个

1个

0个

两圆的位置关系

相交

外切或内切

外离或内含

3.例题讲解

例1已知圆C1：，圆C2：，试判断圆C1与圆C2的位置关系.

解法1：把圆C1的方程化为标准方程，得，圆心为，半径.把圆C1的方程化为标准方程，得，圆心为，半径.

圆C1与圆C2的连心线的长.

因为，即，所以圆C1与圆C2相交.

解法2：将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组

①－②，得③

由③，得.

把上式代入①，并整理，得.④

方程④的根的判别式，所以方程有两个不相等的实数根因此圆C1与圆C2有两个公共点，故这两个圆相交。

追问1：你能通过画图观察出两圆的位置关系吗？

追问2：判断两圆位置关系的一般方法（由学生小结）

设计意图：学生通过三种方法作出比较，分析各自的优势与劣势，做题时可根据题目选择合适的方法。

例2已知圆C1：，圆C2：，求圆C1与圆C2公共弦所在的直线方程。

解：将圆C1与圆C2的方程联立：

①－②，得③

④

因此公共弦所在的直线方程为

追问：为什么得到的直线方程与③式是一样的？

分析：两圆相交必定有两个公共点，两点确定一条直线，因此满足方程组的解必定在公共弦所在的直线上。

师生活动：学生根据例题小结求两圆相交时公共弦所在直线方程的一般方法。

例3已知圆的直径AB=4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍.试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆的位置关系.

追问1：什么是轨迹？

追问2：如何求轨迹？

师生活动：

追问3：本题是探究满足某种几何条件的动点的轨迹问题，我们通常采用“坐标法”，那么本题如何建立平面直角坐标系比较合适？

师生活动：建系原则：让尽可能多的点落在坐标轴上。

解：如图，以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线

为y轴，建立平面直角坐标系.

由AB=4，得

设点M的坐标为，由，

，

化简，得.

所以点M的轨迹是以点为圆心，

半径为的一个圆.

因为两圆的圆心距为，两圆的半径为，

，又，

所以点M的轨迹与圆相交.

小结:坐标法求动点轨迹问题的基本步骤：

4.课堂小结

本节课主要学习了哪些知识点与哪些思想方法？

1.圆与圆的位置关系的判断；

2.与两圆相交有关的问题;

3.点的轨迹问题

4.数形结合的思想方法

设计意图：

学生总结本节课的知识、思想方法，

教师帮助学生梳