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（完整word版）导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

第一部分：历届导数高考压轴题

(全国2理)设函数f(x)=(x+1)1n(x+1)，若对所有的x0,都有f(x)ax成立，求

实数a的取值范围.

(辽宁理)设函数f(x)悝lnxIn(x1).

1x

⑴求f(x)的单调区间和极值；

(I)设a0，讨论yfx的单调性;

(U)若对任意x0,1恒有fx1，求a的取值范围.(全国1理)设函数f(x)exex.(I)证明：f(x)的导数f(x)2;

(U)若对所有x0都有f(x)ax，求a的取值范围.

(新课标理)设函数f(x)=ex1xax2.

(I)若a0,求f(x)的单调区间；

(U)若当x0时f(x)0,求a的取值范围.

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题(I)求f(x)的单调区间;

(全国1理)已知函数fxax⑵是否存在实数a,使得关于x的不等式f(x)…a的解集为(0,取

值范围；若不存在,试说明理由.

)?若存在,求a的

(全国2理)设函数f(x)

sinx

2cosx

(新课标文)已知函数f(x)x(ex1)ax2.

(U)如果对任何x0，都有f(x)ax,求a的取值范围.

(I)若f(x)在x1时有极值，求函数f(x)的解析式;

例题：若不等式sinxxax3对于x(0,三)恒成立，求a的取值范围(U)当x0时，f(x)0，求a的取值范围.

(全国大纲理)设函数f(x)1

(I)证明：当x1时，f(x)

x1

(U)设当x0时，f(x)—，求a的取值范围.

ax1

第二部分：泰勒展开式

(新课标理)已知函数f(x)霁x，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x2y30.

(I)求a、b的值;

(U)如果当x0，且x1时，f(x)也k，求k的取值范围.

x1x1.ex1x

1!

x

2!

x

3!

K

23

xx

2.ln(1x)x

2!3!

35

xx

3.sinxx——K

3!5!

24

xx

4.cosx1K

2!4!

23

(

n

x

n!

n1

x

e

(n1)!

n

K(1)n1—

n!

2k1

1)*

,其中(0

R

n

,其中Rn

Rn，其中Rn

1);

n1

1)nI^+)n1;

2k1

kx

(1)cosx;

(2k1)!

2k2

(1)k4R

n，其中Rn

2k

(1)k話严x;

1.(新课标理)已知函数f(x)b，曲线yf(x)在点(l,f(l))处的切线方

x1x

程为x2y30.

(I)求a、b的值；

(U)如果当x0，且x1时，f(x)也k，求k的取值范围.

x1x

常规解法

(I)略解得a1，b1.

(n)方法一：分类讨论、假设反证法

2h(x)0,与题设矛盾?综上可得，k的取值范围为(，0].

1x

注：分三种情况讨论：①k0:②0k1:③k1不易想到.尤其是②0k1时，许多考生

都停留在此层面，举反例x(1,—1)更难想到.而这方面根

1k

据不同题型涉及的解法也不相同，这是高中阶段公认的难点，即便通过训练也很难提升.

第三部分：洛必达法则及其解法

洛必达法则：设函数f(x)、g(x)满足：

(1)limf(x)limg(x)0;

xaxa

(2)在Uo(a)内，f(x)和g(x)都存在，且g(x)0；

(3)lim3A(A可为实数，也可以是).

xag(x)

则|im他xm3A.

xag(x)xag(x)由(I)知f(x)—

x1

，所以f(x)(罟-)1(2lnx

(k1)(x2丄)

).

x1xx1x1xx

考虑函数h；x)2lnx

(k

1)(x21)(x0)，则h(x)

(k1)(x2

2

1)2x

xx

(i)当k0时，由h((x)k(x21)(xx2°知，当x

1

时，

h(x)0.因为h(1)0,

所以当x(0,1)时，h(x)0,可得」

1

2h(x)0;

x

当x(1,)时，h(x)

0,可得

1

2h(x)

0，从而当x0且x1时,f(x)(ln：*)0，即lnxf(x)

k

；

1xx1xx1x(ii)当0k1时,由于当X(1,1k)时，(k1)(:x

21)2x0,故h(x)0,而h(1)

0，

故当x(1,1)时，h(x)0，可得12h(x)0，与题设矛