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2024年湖北省新高考模拟卷
数学
本试卷共4页,19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集是实数集,集合,,则图中阴影部分所表示的集合为()
A. B. C. D.
2.已知复数满足,则的虚部为()
A. B. C. D.
3.已知椭圆:的左、右焦点分别为,,点为上异于长轴端点的任意一点,的角平分线交线段于点,则()
A. B. C. D.
4.如图,已知A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则()
A. B.
C. D.平面MNQ
5.已知数列是单调递增数列,,,则实数的取值范围为()
A. B. C. D.
6.已知,则()
A. B. C. D.
7.已知A,B是直线:上的两点,且,P为圆:上任一点,则面积的最大值为()
A. B. C. D.
8.定义:表示p、q,r中的最小值.已知实数a,b,c满足,,则()
A.的最大值是 B.的最大值是
C.的最小值是 D.的最小值是
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列命题正确的是()
A.数据4.5.6.7.8.8的第50百分位数为6
B.已知随机变量,若,则
C.对于随机事件A,B,若,,,则A与B相互独立
D.已知采用分层随机抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为:男生样本平均数为172,方差为120,女生样本平均数为165,方差为120,则总体样本方差为120
10.已知函数的部分图象如图所示,则()
A.在上单调递增
B.在上有4个零点
C.
D.将的图象向右平移个单位长度,可得的图象
11.设定义在上的函数与的导函数分别为和.若,,且为奇函数,则下列说法正确的是()
A.函数的图象关于直线对称 B.
C. D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.现有5人通过3个不同的闸机进站乘车,每个闸机每次只能过1人,要求每个闸机都要有人通过,则有______种不同的进站方式(用数字作答).
13.已知菱形的边长为,,沿对角线将菱形折起,使得二面角为钝二面角,且折后所得四面体外接球的表面积为,则二面角的余弦值为______.
14.已知斜率为的直线与双曲线:的左、右两支分别交于点A,B,,直线与双曲线E的左、右两支分别交于点D,C,AC交BD于点P,若点P恒在直线:上,则双曲线E的离心率为______.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知函数(其中是自然对数的底数).
(1)是否存在实数a,使得函数在定义域内单调递增?
(2)若函数存在极大值,极小值,求证:
16.(15分)如图,在三棱柱中,侧面是矩形,,.
(1)求证:平面平面.
(2)若,,,在棱AC上是否存在一点P,使得二面角的大小为45°?若存在,求出点P的位置;若不存在,请说明理由.
17.(15分)已知抛物线:,过焦点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,当直线l的倾斜角为时,.
(1)求抛物线C的标准方程和准线方程;
(2)记O为坐标原点,直线分别与直线OA,OB交于点M,N,求证:以MN为直径的圆过定点,并求出该定点的坐标.
18.(17分)马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型,因俄国数学家安德雷·马尔可夫得名,其过程具备“无记忆”的性质,即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关,与第,,,…次状态无关,即.已知甲盒中装有2个黑球和1个白球,乙盒中装有2个白球,现从甲、乙两个盒中各任取一个球交换放入另一个盒中,重复n次这样的操作.记甲盒中黑球的个数为,恰有2个黑球的概率为,恰有1个黑球的概率为.
(1)求,和,;
(2)求证:数列为等比数列(且);
(3)求的期望(用n表示,且).
19.(17分)在平面直角坐标系中,定义:,两点间的“直角距离”为.
(1)填空(直接写出结果):
①若,,则______;
②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点轨迹方程是______;
③记到,两点的“直角距离”之和为4的动点轨迹为曲线G,则曲线G所围成的封闭图形的面积为______.
(2)设点,点
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