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一、实对称矩阵的特征值与特征向量
设矩阵A(aij),那么矩阵A(aij)称为的共轭矩阵.
A
不难证明对于矩阵A、B及数下列等式成立:
ABAB,AA,其中乘积、有意义.
AB
定理7.3实对称矩阵的特征值一定是实数
A(a),
nij,为A的任意一个
证明设阶实对称矩阵
特征值,为A的属于的特征向量,即是
x
Axx,x0
因为为实对称矩阵,故
A
ΤΤΤΤΤΤΤΤ
()Ax()
xAxAAxxxx
ΤΤΤ(ΤΤ
于是(xx)x(x)xAx)(xA)x(x)x(xx)
x1
xΤx(xxx)xnn2
2
但是12nxixixi
i1i1
x
n
2
n
Τ
由x0知xxxi0
i1
故
证毕
这表明为实数.
显然,对于实对称矩阵A,由于它的特征值为实数,
齐次线性方程组(I−A)x0是实系数方程组,所以对
应的特征向量可以取实向量.
定理7.4实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向
量是正交的.
证设,为A的特征值且,x,x
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