实对称矩阵角化课件七章二节.pdfVIP

一、实对称矩阵的特征值与特征向量

设矩阵A(aij),那么矩阵A(aij)称为的共轭矩阵.

A

不难证明对于矩阵A、B及数下列等式成立：

ABAB,AA，其中乘积、有意义.

AB

定理7.3实对称矩阵的特征值一定是实数

A(a),

nij，为A的任意一个

证明设阶实对称矩阵



特征值，为A的属于的特征向量，即是

x

Axx,x0

因为为实对称矩阵，故

A

ΤΤΤΤΤΤΤΤ

()Ax()

xAxAAxxxx

ΤΤΤ(ΤΤ

于是(xx)x(x)xAx)(xA)x(x)x(xx)

x1



xΤx(xxx)xnn2

2

但是12nxixixi

i1i1

x

n

2

n

Τ

由x0知xxxi0

i1

故

证毕

这表明为实数.



显然，对于实对称矩阵A，由于它的特征值为实数，

齐次线性方程组(I−A)x0是实系数方程组，所以对

应的特征向量可以取实向量．

定理7.4实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向

量是正交的．

证设,为A的特征值且,x,x