Fourier分析在偏微分方程中的应用.ppt

Fourier分析在

偏微分方程中的应用

2008-01-02

偏微分方程的研究对象是作为偏微分方程解的函数，什么是“知道”一个函数似乎是一个显而易见的问题，但事实上这是一个非常深刻并革命性地推动偏微分方程开展的重要问题。从时空域“知道”一个函数〔经典分析〕；从试验函数“知道”一个函数〔广义函数〕；从频谱域“知道”一个函数〔Fourier分析〕;更一般地，通过一个基底“知道”一个函数。

从Fourier分析谈起；微局局部析：拟微分算子；仿微分算子；微局局部析的一个应用

从Fourier分析谈起1822年Fourier发表了他的名著《热的解析理论》。自此我们有了Fourier级数、Fourier积分，总之有了调和分析。调和分析是数学中一百多年来为数不多地充满活力向前开展并对科学产生重大影响的数学分支。(JosephFourier,1768~1830)

从Fourier分析谈起Fourier在1807年就提交了第一篇关于热传导的论文。当时Laplace〔1749－1827〕和Lagrange〔1736－1813〕等人是评阅人；Fourier在1811年呈上修改正的论文，并得到奖金，但未发表在当时科学院《报告》；1922年Fourier发表了他的名著《热的解析理论》；两年后Fourier成为科学院秘书，把1811年修改正的论文，发表在科学院《报告》。

从Fourier分析谈起Fourier在他的《热的解析理论》里研究了有限长杆上的热传导方程的混合初边值问题的解，并用今天熟知的别离变量法将解写成级数。Fourier在他的《热的解析理论》的最后一局部讨论半无限长杆上的温度分布，得到Fourier积分，也就是我们后面讲到的Fourier变换。Fourier的工作是偏微分方程及其重要的一大步。Fourier的工作迫使对函数概念作一修改，即函数可以分段表示。

从Fourier分析谈起Fourier级数：在[-π，π]是连续函数，那么或者用复形式其中，称为的Fourier系数，这里和分别形成一个正交基。

从Fourier分析谈起Fourier定理告诉我们：一个周期函数总可被正弦函数和余弦函数表出：

从Fourier分析谈起四个不同频率的根本波复合成一个波；高频，低频；

从Fourier分析谈起示波器

从Fourier分析谈起小提琴师演奏的一段声乐是：

从Fourier分析谈起从频谱域知道一个乐音是远比从时域知道一个乐音要聪明的方法。乐音是适当的简单的声音〔即正弦波〕组合而成，单音称为泛音。泛音中频率最低的称为基音，次低的称为第二泛音等等。乐音有四要素，即音量、音调、音色和时值。

从Fourier分析谈起音量：由振幅确定，粗略地说音量与振幅的平方成正比。音调：〔即音的上下〕由基音的频率确定，粗略地说频率增高到二倍，音调提高一个八度。时值：指振动延续的时间。音色：由声波的形状确定

从Fourier分析谈起知道一个乐器或者一个人的声音只要知道相应的Fourier系数即可。正因为有对声音的数学研究，即Fourier分析的研究，人声辨识、电子音乐等等才成为可能。

从Fourier分析谈起Fourier变换：与Fourier级数相对应的是Fourier变换，它是时—频分析的重要技术，通常记这里相当于Fourier级数的是频率变量。一个信号函数，既可以在时域内以给出，亦可以在频域内以给出，而且通过时—频之间的变换与分析，可以得到很多有用的信息。

从Fourier分析谈起Fourier变换的性质：即函数的微分与乘法对偶。具体说：一个函数的微分对其Fourier变换而言是一个乘法。为方便，以后常用

从Fourier分析谈起基于Fourier变换的这一性质，将微分方程变为代数方程；将函数的光滑性变成其Fourier变换的有界性等；…...Fourier变换成为一种十分具“诱惑力”的方法但问题也接踵而来：由一个函数的Fourier变换写不出原来的函数；变系数的方程无法作Fourier变换；…...

微局局部析经典的偏微分方程是在考虑，微局局部析那么在考虑。或者说在余切丛考虑。从