2023-2024学年广东省深圳市福田中学高一（下）期中数学试卷（含解析）.docx

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2023-2024学年广东省深圳市福田中学高一（下）期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i为虚数单位，(1+i)z

A.1+i B.1?i C.

2.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是

(????)

A.若m//α，n//α，则m//n B.若m⊥α，n?α，则m⊥n

C.若m

3.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有(????)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4.已知向量m=(3,?4)

A.?56 B.69 C.?43

5.已知a，b是两个单位向量，若向量a在向量b上的投影向量为12b，则向量a与向量a?b

A.30° B.60° C.90°

6.已知正四棱台ABCD?A1B1C1

A.722 B.726

7.在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别满足AF=23

A.|b|=34|a|

8.已知直三棱柱ABC?A1B1C1外接球的直径为

A.8 B.12 C.16 D.24

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知关于x的方程x2+tx+1=0

A.z1=z2? B.z1

10.如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为2的正方形，则(????)

A.异面直线AE与DF所成角大小为π6

B.平面AEC⊥平面BF

11.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为

A.若SA：SB：SC=1：1：1，则M为△AMC的重心

B.若M为△ABC的内心，则BC?MA+AC?MB+

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且∠BAC=2π3,AD平分∠

13.如图所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，柱的侧面均为矩形，AA1=1，AB

14.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点E，F分别在线段BC，

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

如图，在四棱锥P?ABCD中，PA=PB=AB=2BC=2CD，AB

16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△DCP是等边三角形，∠DCB=∠PCB=π4，点M，

17.(本小题15分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S.已知S=?34(a2+c2?b2

18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA2cosB=sin(C?π

19.(本小题17分)

十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔?德?费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2B+cos2C?cos2A=1．

(1)求A

答案和解析

1.【答案】B?

【解析】解：∵(1+i)z=2，

∴z

2.【答案】B?

【解析】【分析】

本题考查空间直线与平面的位置关系，属于基础题．

运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，判断A，D；运用线面垂直的性质，结合线线垂直，判断B，C．

【解答】解：若m/?/α，n/?/α，则m，n相交或平行或异面，故A错误；

若m⊥α，n?α，则m⊥n，故B正确；

若m⊥α，m⊥n，则n/?/α或n?α，故

3.【答案】D?

【解析】解：如图底面是矩形，一条侧棱垂直底面，

那么它的四个侧面都是直角三角形．

故选D．

借助长方体的一个顶点画出图形，不难解答本题．

本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，要求学生心中有图，是基础题．

4.【答案】C?

【解析】解：因为向量m=(3,?4)，n=(?12,5

5.【答案】B?

【解析】解：设向量a与向量a?b的夹角为α，

由题意得，|a|=|b|=1，

因为向量a在向量b上的投影向