高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结(苏教版).pdfVIP

专题一：推理与证明

知识结构

归纳推理

合情推理

推理类比推理

推演绎推理

理

与比较法

证

直接证明综合法

明

分析法

证明

间接证明反证法

数学归纳法

1、归纳推理

把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).

简言之,归纳推理由部分到整体、由特殊到一般的推理。

归纳推理的一般步骤：

通过观察个别情况发现某些相同的性质；

从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；

证明（视题目要求，可有可无）.

2、类比推理

由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有

这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．

简言之，类比推理由特殊到特殊的推理.

类比推理的一般步骤：

找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；

检验猜想。

3、合情推理

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、

类比，然后提出猜想的推理.

归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.

4、演绎推理

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．

简言之，演绎推理由一般到特殊的推理.

演绎推理的一般模式———“三段论”，包括

⑴大前提已知的一般原理；

⑵小前提所研究的特殊情况；

⑶结论据一般原理，对特殊情况做出的判断．

用集合的观点来理解：若集合M中的所有元素都具有性质P,SM的一个子集,那么

S中所有元素也都具有性质P.

M

·aS

从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前

提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.

5、直接证明与间接证明

⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后

推导出所要证明的结论成立.

框图表示：

要点：顺推证法；由因导果.

⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的

结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.

框图表示：

要点：逆推证法；执果索因.

⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设

错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.

反证法法证明一个命题的一般步骤：

(1)（反设）假设命题的结论不成立；

(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；

(3)（归谬）断言假设不成立；

(4)（结论）肯定原命题的结论成立.

6、数学归纳法

数学归纳法证明关于正整数n的命题的一种方法.

用数学归纳法证明命题的步骤;

（1）（归纳奠基）证明当取第一个值n(nN*)时命题成立；

n

00

（2）（归纳递推）假设nk(kn0,kN*)时命题成立，推证当nk1时命题也成

立.

只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从n开始的所有正整数都成立.

n