2023-2024学年江苏省南通市海门中学高一（下）期中数学试卷（含解析）.docx

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2023-2024学年江苏省南通市海门中学高一（下）期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知a,b均为单位向量，若a,b夹角为2π

A.7 B.6 C.5

2.已知复数a?i1+2

A.?1 B.35 C.2

3.已知cos2α=

A.14 B.12 C.34

4.在△ABC中，若A=30

A.2 B.3 C.6

5.如图，在矩形ABCD中，M是CD的中点，则

A.AC=32AM?12

6.设△ABC的面积为S，若AB?

A.30° B.45° C.60°

7.若tan2α=

A.?12 B.2 C.?2或12

8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c?b=

A.(?1,2) B.(3

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列说法正确的是(????)

A.z?z?=|z|2，z∈C

B.i2024=?1

C.若|z|

10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是

A.若bcosC+ccosB=b，则△ABC是等腰三角形

B.若a=2，b=3

11.如图，设Ox，Oy是平面内相交成θ(θ≠π2)角的两条数轴，e1,e2分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ斜坐标系，若OM

A.a?b=(?2,0) B.|a

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量a=(0,?3)，b=(1,m)

13.已知2sinβ?cosβ

14.已知△ABC的外接圆半径为1，则AB?

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知角α和β满足cosα+cosβ=?49．

(1)

16.(本小题15分)

如图，在△ABC中，已知AB=4，AC=10，∠BAC=60°，M，N分别为BC，AC边上的中点，A

17.(本小题15分)

已知函数f(x)=3cos(π2?2x)?2c

18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinB+C2=asinB．

(

19.(本小题17分)

在凸四边形ABCD中，DC=2AD．

(1)若A，B，C，D四点共圆，∠ADC

答案和解析

1.【答案】D?

【解析】【分析】

本题考查了单位向量的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．

根据条件进行数量积的运算即可求出(a?b)2=3，从而得出|a?b|=3．

【解答】

2.【答案】C?

【解析】解：∵a?i1+2i=(a?i)(1?2i)

3.【答案】C?

【解析】解：因为cos2α=?12=1?2s

4.【答案】D?

【解析】解：因为在△ABC中，若A=30°,B=45°,BC=23，

5.【答案】A?

【解析】解：由图可知：AC=AM+MC=A

6.【答案】B?

【解析】解：由2S=AB?AC，得bcsinA=bccosA，

因为cos

7.【答案】B?

【解析】解：因为tan2α=43=2tanα1?tan2α，整理可得2tan2α

8.【答案】D?

【解析】解：因为c?b=2bcosA，则由正弦定理得sinC?sinB=2sinBcosA，

又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosA

9.【答案】AC

【解析】解：设z=a+bi(a,b∈R)，

则z?z?=(a+bi)(a?bi)=a2+b2，|z|2=a2+b2，故A正确；

i4=1，

则i2024=(i4)506=1，故

10.【答案】AB

【解析】解：对于A，由正弦定理得，sinBcosC+sinCcosB=sinB，

即sinB=sin(B+C)=sinA，则A=B，△ABC是等腰三角形，故A正确；

对于B：由余弦定理可得a2=b2+c2?2bccosA，即4=9+c2?33c，

整理得c2?33c+5=0，解得c=33±72，所以符合条件的△ABC有两个，故B

11.【答案】AC

【解析】解：由题可得：a=?e1+e2,b=e1+e2，e1?e2=|e1||e2|cosπ3=12，

对于A，a?b=?e1+e2?(e1+e2)=?2e1，

所以a?b=(?

12.【答案】32

【解析】解：∵向量a=(0,?3)，b=(1,m)，

∴向量b在向量a上的投影向量为a?b|

13.【答案】12

【解析】解：因为sinα=sin(α+β?β)=2sin(α+β)，

所以sin(α+β)co

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