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等角螺线及其它

赵文敏

何谓等角螺线

等角螺线的方程式

趣史一则

等角螺线上的相似性质

黄金分割与等角螺线

等角螺线的弧长

等角螺线的再生性质

其它螺线举例

几何学是一门源远流长的数学分支，在十七世纪以前，几何学一词甚至可说是数学的同义词，它以往的风光可想而知。曾几何时，因为某些内在与外在的因素，几何学的地位似乎已逐渐没落；在中小学的数学教材里，几何题材一次又一次地被删除。这种现象使我们感到忧心，因为自然环境中隐藏着许多几何原理，不了解这些几何知识，不就表示我们对所生存的空间已经愈来愈不了解了吗？

笔者从事数学教育工作多年，又是现行高中数学教科书的编者之一，对当前高中数学教材中几何题材的过度贫乏，实在感到忧心忡忡。在无力对教科书作大幅度修改的情况下，只好在正式教科书之外从事一些修缮工作。

基于上述想法，笔者希望能以一系列的文章来介绍一些几何题材。在内容方面，笔者首先选上曲线。因为曲线的讨论不仅是几何学中最有趣的题材之一，而且许多曲线都会在自然现象中出现，它们的性质也往往能提供重要的应用。例如：天文望远镜的设计，不就是根据拋物线的反射性质吗？本文介绍等角螺线。

何谓等角螺线

何谓等角螺线

在一片空旷的草地上，甲、乙、丙、丁、四只狗分别站立在一个正方形的四个顶点A、B、C、D上。狗主人要甲狗紧盯着乙狗、乙狗紧盯着丙狗、丙狗紧盯着丁狗、丁狗紧盯着甲狗。一声令下，四只狗以相同的速度同时冲向目标。假定每只狗在每个时刻都是正面朝向它的目标，那么，这四只狗所跑过的路径是什么形式呢？

假设四只狗在某一时刻的位置分别为A、B、C、D（见图一），则根据四只

1 1 1 1

狗的行动一致所产生的对称性，可知 也是正方形，而且它的中心

也就是正方形

的中心O。更进一步地，由于在A 点的甲狗系冲向在

1

B 点的乙狗，所以，甲狗在此一时刻的速度方向在向量

1

上。或者说，甲

狗所跑的路径在A 点的切线与直线OA 形成45°的夹角。同理，

1 1

图一

乙狗所跑的路径在B 点的切线与直线OB 形成45°的夹角等等。

1 1

一般而言，若一曲线在每个点P的切向量都与某定点O至此点P所成的向量夹成一定角，且定角不是直角，则此曲线称为一等角螺线(equiangularspiral)，O点称为它的极点(pole)。

前面所提的四狗追逐问题中，每只狗所经过的路线都是一等角螺线的一部分，此

等角螺线中的定角是 （或 ，因为切向量可选成相反方向），而其极点是

正方形

的中心O。

等角螺线的方程式

等角螺线的方程式

在坐标平面上，若极坐标方程式点是原点O，定角为α(

表示一等角螺线（

)，则因在点

），其极的切向量为

所以，可得

即

由此可得下述结果：

换言之，此等角螺线的极坐标方程式为

在前面所提的四狗追逐问题中，若中心O是极点而点A的极坐标为丙、丁四只狗所跑的路径分别在下述四等角螺线上：,

，则甲、乙、

,,

前面所提的，就是等角螺线的极坐标方程式。由于在导出此方程式

的过程中曾经引用了自然对数，所以，等角螺线也称为对数螺线(logarithmicspiral)。

趣史一则

趣史一则

等角螺线的性质，笛卡儿（R.Descartes,1596～1650）在1638年就已经考虑过，但没有获得特殊结果。托里拆利（E.Torricelli,1608～1647年）却在1645年发现有关等角螺线弧长的一项性质，这项性质在下文中将会介绍。

对于等角螺线的探讨，以伯努利（J.Bernoulli,1654～1705年）的成果最为丰硕。他发现将等角螺线作某些变换时，所得的曲线仍是全等的等角螺线。这些变换包括：求等角螺线的垂足曲线(pedalcurve)；求等角螺线的渐屈线(evolute)；求等角螺线反演曲线(inversivecurve)；求等角螺线的焦线(causticcurve)；将等角螺线以其极点为中心作伸缩变换(dilation)，由于这些变换都可以使等角螺线再生，这个现象使伯努利大为欣慰，所以，临殁遗言要将等角螺线的这些性质刻在他墓碑上，同时题上一句话：「Eademmutataresurgo」

（虽然某些状况改变了，我却保持不变）。这是继阿基米德（纪元前三世纪）之后，另一位在墓碑上表现其成果的数学家。

等角螺线上的相似性质

等角螺线上的相似性质

根据等角螺线的方程式，可以看出：对每个θ 值，都有一个对应

的r值；而且不同的θ 值所对应的r值也不同（因为

）。这种现

象表示：从等角螺线上某个点出发，随着θ 值的无限制增大与无限制减小，此曲线会环绕它