江西省赣州市2023-2024学年高三下学期5月适应性考试数学试题.docxVIP

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赣州市2024年高三年级适应性考试

数学试卷

2024年5月

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在等差数列中．，是方程的两根，则的前6项和为（）

A．48 B．24 C．12 D．8

2．已知甲、乙两组数据分别为：22，21，24，23，25，20和25，22，a，26，23，24．若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大2，则（）

A．甲、乙两组数据的极差不同 B．乙组数据的中位数为24

C．甲、乙两组数据的方差相同 D．甲组数据的第一四分位数为21.5

3．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝1，，则A＝（）

A． B． C． D．

4．已知直线．圆，则（）

A．l过定点 B．l与C一定相交

C．若l平分C的周长，则m＝1 D．l被C截得的最短弦的长度为4

5．由0和1组成的序列称为0－1序列，序列中数的个数称为这个序列的长度，如01011是一个长度为5的0－1序列．在长度为8的0－1序列中．所有1互不相邻的序列个数为（）

A．20 B．54 C．55 D．280

6．已知，为双曲线的左、右焦点，M为C左支上一点．设，，且，则C的离心率为（）

A． B．3 C．2 D．

7．已知球O内切于正四棱锥P－ABCD，PA＝AB＝2，EF是球O的一条直径，点Q为正四棱锥表面上的点，则的取值范围为（）

A． B． C． D．

8．已知函数，．若，则k的取值范围为（）

A． B． C． D．

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．已知i为虚数单位，，则（）

A．

B．

C．若，则的最大值为6

D．若是关于x的方程的一个根，则q＝8

10．已知函数，则（）

A．若相邻两条对称轴的距离为，则

B．当的最小正周期为，时，

C．当时，的图象向右平移个单位长度得到函数解析式为

D．若在区间上有且仅有两个零点，则

11．函数及其导函数的定义域均为R，和都是奇函数，则（）

A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称

C．是周期函数 D．

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12．若集合，，则______．

13．已知某正三棱柱外接球的体积为，则该正三棱柱体积的最大值为______．

14．已知，则的最小值为______．

四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）

《中国诗词大会》是中央广播电视总台联合中华人民共和国教育部、国家语言文字工作委员会共同推出的语言文化类节目，节目以诗词描绘中国精神，用诗意书写时代篇章，尽展中华民族历史之美、山河之美、文化之美．随着《中国诗词大会》的播出，赣州市某学校掀起了学习唐诗和宋词的热潮，该校团委组织了校内诗词大会，赛前准备了两组题，第一组题中含有2道唐诗和3道宋词，第二组题中含有6道唐诗和4道宋词．

（1）先等可能地抽取一组题，再从这组题中抽出2道题，若抽出的两道题恰是1道唐诗和1道宋词，求这两道题出自第一组题的概率；

（2）某同学从两组题中按照分层抽样共抽取3道题，记X为抽到的是宋词的题数，求X的分布列及数学期望．

16．（15分）．

如图，在三棱柱中，侧面为正方形，底面ABC为等边三角形．

（1）证明：为等腰三角形；

（2）若，求平面与平面夹角的正弦值．

17．（15分）

已知数列满足，，，成等差数列．

（1）求证：数列是等比数列，并求出的通项公式；

（2）记的前n项和为，证明：．

18．（17分）

如图，曲线是以原点O为中心，，为焦点的椭圆的一部分，曲线是以O为顶点，为焦点的抛物线的一部分，是和的交点，我们把和合成的曲线W称为“月蚀圆”．

（1）求所在椭圆和所在抛物线的标准方程；

（2）过作与y轴不垂直的直线l，l与W依次交于B，C，D，E四点，P，Q为所在抛物线的准线上两点，M，N分别为CD，BE的中点．设，，，分别表示，，，的面积，求．

19．（17分）

给出以下三个材料：

①若函数的导数为，的导数叫做的二阶导数，记作．类似地，二阶导数的导数叫做的三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做的四阶导数…，一般地，n－1阶导数的导数叫做的n阶导数，即，；

②若，定义；

③若函数在包含的某个开区间上具有n阶的导数，那么对于有，我们将称为函数在点处的n阶泰勒展开式．例如，在点处的n阶泰勒展开式为．根据以上三段材料，完成下面的题目：

（1）若，在点处的3阶泰勒展开式分别为，，求出，；

（2）比较（1）中与的大小；

（3）证明：．

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