计算传热学数值模拟.pdfVIP

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1、Jacobi迭代

在Jacobi迭代法中任一点上未知值的更新是用上一轮迭代中所获得的各邻

点之值来计算的，即

T(n)(akT(n1)bk)/akkk=1,2,...,L×M

kl11

l1

lk

这里带括号的上角标表示迭代轮数。所谓一轮是指把求解区域中每一节点之值都

更新一次的运算环节。显然，采用Jacobi迭代式，迭代前进的方向（又称扫描方

向）并不影响迭代收敛速度。这种迭代法收敛速度很慢，一般较少采用。但对强

烈的非线性问题，如果两个层次的迭代之间未知量的变化过大，容易引起非线性

问题迭代的发散。在规定每一层次计算的迭代轮次数的情况下，有利于Jacobi迭

代有利于非线性问题迭代的收敛。

2、Gauss-Seidel迭代

在这种迭代法中，每一种计算总是取邻点的必威体育精装版值来进行。如果每一轮迭代

按T的下角标由小到大的方式进行，则可表示为：

此时迭代计算进行的方向（即扫描方向）会影响到收敛速度，这是与边界条

件的影响传入到区域内部的快慢有关的。

3、例题：

一矩形薄板几何尺寸如图所示，薄板左侧的边界温度T=100K，右侧温度

L

T=300K，上侧温度T=200K，下侧温度T=200K，其余各面绝热，求板上个节

RTB

点的温度。要求节点数目可以变化，写出程序。

解析：

⑴列出描述问题的微分方程和定解条件。

.z.

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t2t2

220；对于离散化的问题，其微分方程根据热平衡原理得到：

xy

定解条件(边界条件):

T=100K，T=300K，T=200K，T=200K。

LRTB

⑵网格划分示意图：

如下图所示，将薄板划分成mn(m=n)个网格，求mn个节点的温度分布。

⑶内部节点的离散化代数方程：

tttttttt

i1,ji,jyi1,ji,jyi,j1i,jxi,j1i,jy0

xxyx

即

边界节点的的离散化代数方程即各节点的温度等于对应边界的温度，不做赘

述。

⑷源程序：

①采用高斯-赛德尔迭代的程序，如下：

m=input(h);

n=input(l);

t=zeros(m,n);

t0=zeros(m,n);

dteps=0.01;

fori=1:m

t(i,1)=200;

t(i,n)=200;

end

.z.

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forj=1:n

t(1,j)=100;