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利用导数求函数的单调区间

函数是中学数学的核心内容，是高考的热点，而导数的知识形成一门学科。导数是解决函数的单调区间的突破口。近几年，用导数作为工具研究函数的单调区间，更是高考的热点，在函数y＝f（x）比较复杂的情况下利用导数求函数的单调区间比用函数单调区间的定义要简单得多。

定义：一般地，设函数y＝f（x）在某个区间内有导数，如果在这个区间内y′＞0，那么函数y＝f（x）为在这个区间内的增函数；如果在这个区间内y′＜0，那么函数y＝f（x）为在这个区间内的减函数。

用导数求函数单调区间的三个步骤：

⑴求函数f（x）的导数f′(x)；

⑵令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间；

⑶令f′(x)＜0解不等式，得x的范围就是递减区间。

例1：（2005年北京卷第一小问）已知函数f（x）＝-x3＋3x2＋9x＋a。求f（x）的单调递减区间。

解：∵f（x）＝-x3＋3x2＋9x＋a

∴f′(x)＝-3x2＋6x＋9

令f′(x)＜0

∴-3x2＋6x＋9＜0

∴x2－2x－3＞0

∴（x＋1）（x－3）＞0，即x＜－1或x＞3

∴函數f（x）的单调递减区间为（-∞，-1），（3，+∞）

命题意图：利用导数求函数的单调区间。

例2：（2006年安徽卷本大题满分12分）设函数f（x）＝x3＋bx2＋cx（x∈R），已知g（x）＝f（x）－f′(x)是奇函数。

（Ⅰ）求b、c的值。

（Ⅱ）求g（x）的单调区间。

解：（Ⅰ）∵f（x）＝x3＋bx2＋cx

∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c

从而g（x）＝f（x）－f′(x)＝x3＋bx2＋cx－（3x2＋2bx＋c）＝x3＋（b2－3）x2＋（c－2b）x－c

∵g（x）是一个奇函数

∴g（0）＝0得c＝0，由奇函数定义得b＝3

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：g（x）＝x3－6x

从而g′(x)＝3x2－6

当g′(x)＞0时，3x2－6＞0

∴（x＋）（x－）＞0

∴x＜－或x＞

当g′(x)＜0时，3x2－6＜0

∴－＜x＜

由此可知：（-∞，-），（，+∞）是函数g（x）是单调递增区间，（-，）是函数g（x）是单调递减区间。

此题考查奇函数定义及用导数求函数的单调区间。

例3：（2007年四川卷本小题满分12分）设函数f（x）＝ax3＋bx＋c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为-12。

（Ⅰ）求a，b，c的值；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值。

解：（Ⅰ）∵f（x）为奇函数

∴f（-x）＝-f（x）

即-ax3－bx＋c＝-ax3－bx－c

∴c＝0

∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为-12

∴b＝-12

又∵直线x－6y－7＝0的斜率为

∴f′(x)＝3a＋b＝-6

∴a＝2，b＝-12，c＝0

（Ⅱ）∵f（x）＝2x3－12x

∴f′(x)＝6x2－12＝6（x＋）（x－）

∴f′(x)＞0

∴6（x＋）（x－）＞0

∴函数f（x）的单调增区间是（-∞，-），（，+∞）

∵f（-1）＝10，f（）＝-8，f（3）＝18

∴f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）＝18，最小值是f（）＝-8

本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。

例4：证明函数f（x）＝在（0，+∞）上是减函数.

证法一：（用以前学的方法证）任取两个数x1，x2∈（0，+∞）设x1＜x2

f（x1）－f（x2）＝＝

∵x1＞0，x2＞0∴x1x2＞0

∵x1＜x2∴x2－x1＞0∴＞0

∴f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）

∴f（x）＝在（0，+∞）上是减函数.

证法二：（用导数方法证）

∵f′(x)＝()′＝(－1)·x-2＝－，x＞0

∴x2＞0∴－＜0∴f′（x）＜0

∴f（x）＝在（0，+∞）上是减函数

点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些呢？如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性。

例5：（2008年全国卷Ⅰ文第一小问）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R。

（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间。

解：（1）∵f（x）＝x3＋ax2＋x＋1

∴f′(x)＝3x2＋2ax＋1

∴△＝（2a）2－4×3×1＝4a2－12

①当a2≤3时，△＜0

∴f′(x)≥0

∴f（x）在R上递增

②当a2＞3时

若f′(x)＞0，则3x2＋2ax＋1＞0

∴x＜(－∞，)或x＞(，＋∞)

若f′(x)＜0，则3x2＋2ax＋1＜0

∴＜x＜

即f（x）在（－∞，）和（，＋∞）上递增；在（，）上递减

知识依托：考查二次函数知识、利用导数求函数的单调区间，由