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《双曲线及其标准方程》课程教案
一、教学要求
(1)知识与技能目标
掌握双曲线的标准方程极其推导方法；能够正确运用双曲线的标准方程解题。
(2)过程与方法目标
在对双曲线概念的引入以及标准方程的推导中，培养学生分类探讨的能力。
(3)情感与态度目标
在教学中充分展示“数”与“形”的内在联系，使学生进一步体会数形结合的思想，
激发学生的钻研探索精神。
二、教学重、难点分析
(1)重点：双曲线的定义与双曲线的标准方程
(2)难点：双曲线的标准方程的推导
三、教学手段
多媒体和板书相结合。
四、教学过程
具体活动
意图
新
课
引
入
播放提前设置好的音乐《悲伤的双曲线》中的有关双曲线的片段（“如果我是双曲线，你就是那渐近线”）
师：同学们，刚刚播放的这首歌用双曲线和渐近线的关系表达了作者对于缘分的无奈。至于作者为什么无奈，需要你们好好学习双曲线的知识了。
生：一片唏嘘声
师：常言道，有图有真相。我们来看看生活中有哪些地方含有双曲线吧。（用PPT展示图片）
生：图里都是有两条曲线，和双曲线名字一样。
师：观察的很好，在上节课我们学习椭圆的时候提到了椭圆的学习为双曲线打下了基础。我想问同学们，我们是怎么定义椭圆的？
生：回答椭圆的定义
师：在椭圆的定义里，有定点和定长。那双曲线是否也有定点和定长呢？光想似乎不太好理解，带着疑问我们来看看PPT展示的动画里双曲线怎么得来的吧。（暗示他们用类比思想来思考）
这样提问起到了承上启下的作用，因为考虑到学生目前的认知情况（知道了椭圆的定义），所以引导他们类比联想，可以将旧知识和新知识联系起来。
在同学们已经回忆了椭圆的定义基础上，我们不妨采用类比思想，提示同学们去探讨双曲线的定义。
教
授
新
课
双曲线的定义
师：播放“拉链实验”动画（2min）。动画看完了吧，我想请一位同学说说，在双曲线形成的过程中，有哪些东西是固定的？（点一个数学成绩靠前的学生回答，因为还需要他配合总结双曲线的定义）
生：老师，左边拉链的端点F1被固定了，右边拉链则是在两个端点之间的一点F2固定。固定点F1到固定点F2的距离F1F2
师：回答的很好。在椭圆的定义里，我们知道的是一个动点到两个定点的距离之和是不变的。那双曲线轨迹上的动点到定点的距离有什么样的关系呢?
生：暂时没有想到，老师可以提示一些吗？
师：我们来看，首先选的拉链是左右两边是一样长的，用数学语言来说，即MF1=MF2+F2F，我们知道椭圆定义里提到了两个动长的和为一个定值，而在刚刚这个公式我们不难看出，将公式变形可以得到MF
老师总结双曲线的定义。
2)双曲线的标准方程
师：椭圆的方程是在平面直角坐标系里研究得出的，那双曲线的标准方程推导自然也可以这样试试。（双曲线和椭圆可以类比学习）
师：我们平常也接触过需要建系的题目，此类型的题目我们都知道建系要从简，那同学们知道怎么建系简单一些吗？
生：建系的一个要点就是先考虑对称，双曲线也是对称图形，所以两个焦点的中点为坐标原点，以经过两个焦点的直线为x轴，那过原点垂直平分x轴的直线自然是y轴了。
师：很好，这是大部分同学第一时间能够想到的一种双曲线方程，焦点在x轴上的双曲线方程。
焦点在x轴上的双曲线标准方程
师：理清了思路之后，我们一起来推导焦点在x轴上的双曲线标准方程吧。看到PPT上的这幅图片，我们不妨设焦点F1的坐标为?c,0，焦点F2的坐标为c,0，设MF1?MF
x+c
类比椭圆标准方程的化简过程，得
x2
由双曲线的定义知，2c2a，所以
类比椭圆方程的建立过程，设b2=c
x
师：这里我们只分析了焦点在x轴上双曲线的一支（双曲线右支），实际上从双曲线的定义我们知道，是差的绝对值为一个常数，所以在推导标准方程的时候一定要看清楚题目的题干说的是差还是差的绝对值，这两者是不一样的。
焦点在y轴上的双曲线标准方程
师：同学们类比椭圆，我们可以设焦点在y轴上的双曲线标准方程为：
y2
生：验算符合，焦点在y轴上的双曲线方程也是x2
师：那焦点在y轴上的双曲线方程还满足关系：c2
生：（观察计算）依旧满足。
师：所以，当我们看到一个双曲线的标准方程时，看x2和y
用动画展示，使教学内容变得生动。
让同学们结合刚刚双曲线的形成过程，类比椭圆来推导双曲线的标准方程，给予学生自己探索总结的机会，有利于培养他们的探索能力。（焦点在y轴上的双曲线方程推导不会太难，因为已经推导了在焦点在x轴上的双曲线方程，可以放心地交给学生们自己操作，锻炼一下他们的探索能力）
讲
练
结
合
师：好的，下面我们一起去题目里感受一下新知识吧。
例题1
①已知双曲线的两个焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为6，求双曲线的标准方程。
解：先判断焦点位置
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