浅谈矩阵的对角化问题(浓缩稿).doc

浅谈矩阵的对角化问题(浓缩版)

学号：0807402069学生姓名：马莉莹指导老师：朱广俊

数学科学学院，2008级，数学与应用数学〔师范〕

摘要：矩阵的对角化是矩阵理论中的一个重要问题，本文利用高等代数的有关理论给出了矩阵可对角化的假设干条件；从初等变换、线性方程组、特征子空间等不同角度探究了将一般矩阵和实对称矩阵对角化的假设干方法；最后，分析了一些特殊矩阵的对角化问题，如幂等矩阵、幂零矩阵、实对称矩阵和Hermite矩阵等.

关键词：对角化，特征值，特征向量，相似变换，线性变换.

Abstract:DiagonalizationofMatrixisanimportantprobleminthematrixtheory.Wegiveseveralconditionsofmatrixdiagonalizationbytheuseofhigheralgebrarelatedtheory.Wegivesomemethodsofdiagonalizationofgeneralmatrixandrealsymmetricmatrixfromdifferentaspects,suchaselementarytransformation,systemoflinearequationsandcharacteristicsubspace.Intheend,weanalysisthediagonalizationofsomespecialmatrix,suchasidempotentmatrix,nilpotentmatrix，realsymmetricmatrixandhermitematrix.

Keywords:diagonalization，eigenvalue，eigenvectors，

similaritytransformation，lineartransformation.

一．矩阵相似对角化的条件

由于矩阵的类型和所在数域的不同，其对角化的条件也不同.

1.任意数域上矩阵相似对角化的条件

充要条件

设为阶方阵的个互异的特征值，且它们的重数分别为，.

可对角化有个线性无关的特征向量

对于的每个特征值,其代数重数等于其几何重数

的最小多项式无重根

对于的每个特征值，都有

的初等因子都是1次的

与某个循环矩阵相似

充分条件

有个不同特征值可对角化

的零化多项式无重根可对角化

复数域上Hermite矩阵必可酉相似于对角矩阵.

3.实数域上对称矩阵必可正交相似于对角矩阵.

矩阵对角化的假设干方法

〔一〕一般矩阵对角化的方法

特征向量法是将矩阵对角化的常规方法，用该方法解决问题时需要求解齐次线性方程组，过程繁琐.下面介绍其它四种将矩阵对角化的方法.

1.矩阵乘积运算法

设是在数域上全部互异的特征值.其重数分别为,且，记为的属于的特征子空间.对，有：

假设可对角化，那么对的每一特征值，都有个与之对应的线性无关的特征向量.

可对角化的充要条件是对于的每个特征值,.

采用类比推测，可得定理1.

定理1：设是在数域上全部互异的特征值，其重数分别为,且，记=.对，有：

〔1〕假设可对角化，那么矩阵的列向量组中有对应于的个线性无关的特征向量.

〔2〕可对角化的充要条件是.

定理1说明，要构造可对角化矩阵的相似变换矩阵,只需对每一特征值，从矩阵乘积中找出个与之对应的线性无关的特征向量，以这样所得的个特征向量为列作一个阶矩阵即可.

例1：设，求可逆矩阵，使得为对角矩阵.

解：由，得〔二重〕，，

，所以可对角化.

当〔二重〕时：

取中两个线性无关的特征向量.

当时：

取中的特征向量

当时：

取中的特征向量.

令，那么

2.Jordan标准形法

由于复数域上任意阶矩阵都相似于一个Jordan矩阵，所以存在可逆矩阵，使得.如果为对角矩阵，那么可对角化，否那么，不可对角化.由于矩阵可逆，所以存在一系列的初等矩阵，使得.于是有：

.

可对先施行一次初等行变换后，接着施行一次相应的初等列变换,我们称此种初等变换为对施行了一次相似变换.显然，可对施行一系列的相似变换，将化为Jordan形矩阵.

例2：设，求可逆矩阵，使得为对角矩阵.

解：将化为Jordan标准形

由的Jordan标准形知，矩阵可对角化且它的特征值为-2,1,1.上述过程对共施行了三次相似变换，且三次初等列变换对应的矩阵分别为：

所以，且.

3.矩阵标准形法

引理1：设是阶方阵，那么必能用初等变换将变为对角矩阵：

并且多项式的所有