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天天教育内部讲义
经典难题（一）
1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．
求证：CD＝GF．（初二）
C
E
G
AB
DOF
0．2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝15
求证：△PBC是正三角形．（初二）AD
P
CB
3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、
CC1、DD1的中点．
求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二）
A
A2
A1
D2
D
D1
B1
C1
B2C2
BC
4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC
的延长线交MN于E、F．
求证：∠DEN＝∠F．
F
E
NC
D
AB
M
天天教育内部讲义
经典难题（二）
1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．
（1）求证：AH＝2OM；
A
（2）若∠BAC＝60
0，求证：AH＝AO．（初二）
O
·
HE
B
MC
D
2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C
及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．
G
E
求证：AP＝AQ．（初二）
O
·
C
BD
MNPAQ
3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN
于P、Q．E
求证：AP＝AQ．（初二）
C
A
M·
P
Q
N
·
OB
D
4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形
CBFG，点P是EF的中点．
求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）
D
G
CE
PF
A
QB
天天教育内部讲义
经典难题（三）
1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．
求证：CE＝CF．（初二）
DA
FE
BC
2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．
求证：AE＝AF．（初二）
ADF
BC
E
3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．
求证：PA＝PF．（初二）
AD
A
B
PCE
4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于
B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）
A
BODP
EF
C
天天教育内部讲义
经典难题（四）
1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．
求：∠APB的度数．（初二）
A
P
BC
2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．
求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）
AD
P
BC
3、Ptolemy（托勒密）定理：设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．
（初三）
A
D
BC
4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且
AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）
AD
F
P
B
EC
天天教育内部讲义
经典难题（五）
1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，l＝PA＋PB＋PC，求证：3≤L＜2．
A
P
BC
2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
AD
P
CB
3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．
AD
P
CB
0，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80
∠EBA＝20
0，求∠BED的度数．
A
ED
BC
天天教育内部讲义
经典难题（一）
1、
2、
天天教育内部讲义
3、
4、
天天教育内部讲义
经典难题（二）
1、
2、
天天教育内部讲义
3、
4、
经典难题（三）
1、
天天教育内部讲义
2、
3、
4、
天天教育内部讲义
经典难题（四）
1、
2、
3、
4、证明：过D作DQ⊥AE，DG⊥CF,并连接DF和DE，如右图所示
则S△ADE=
1
2
SABCD=S△DFC
∴
1
2
AE﹒DQ=
1
2
DG﹒FC
又∵AE=FC,
∴DQ=DG,
∴PD为∠APC的角平分线，
∴∠DPA=∠DPC
天天教育内部讲义
经典难题（五）
1、
2、
3、
天天教育内部讲义
3、
4、
天天教育内部讲义
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